Recept - Modellering I (proportionalitet)

Bakgrundsdefinition: En kvantitet \(A\) sägs vara proportionell mot en kvantitet \(B\) precis om det finns en konstant \(k \neq 0\) sådan att

\[A = kB\]

Kvantiteten \(A\) sägs däremot vara omvänt proportionell mot kvantiteten \(B\) precis om det finns en konstant \(k \neq 0\) sådan att

\[A = \frac{1}{k}B\]

Strategi: Många förlopp, med proportionella kvantiteter involverade, kan modelleras med en ODE av första ordning på formen

\[\frac{dy}{dt} = ky\left( t \right) \Leftrightarrow y'\left( t \right) - ky\left( t \right) = 0\]

eller

\[\frac{dy}{dt} = k\left( y\left( t \right) - h \right) \Leftrightarrow y'\left( t \right) - ky\left( t \right) = - hk\]

där \(h\) och \(k \neq 0\) är några (realistiska) godtyckliga konstanter. Dessa ekvationer är såväl separabla som linjära och kan lösas med kända metoder från kursen, exempelvis integrerande faktor.

Det kan däremot vara effektivt att lära sig följande snabba, typiska lösningar som är kända redan från envariabelanalys:

1. Den linjära homogena ODE av första ordning

\[y'\left( t \right) - ky\left( t \right) = 0\]

har lösningen

\[y\left( x \right) = Ce^{kt}\]

2. Den linjära inhomogena ODE av första ordning

\[y'\left( t \right) - ky\left( t \right) = - hk\]

har lösningen

\[y\left( x \right) = Ce^{kt} + h\]

Ovan står \(C\) för en konstant som kan bestämmas med hjälp av något begynnelsevillkor eller randvillkor som ingår i problemlydelsen.