Säg att vi har en funktion som \(f(x) = x^2 - 5\). Det är enkelt att inse att \[f(7) = 7^2 - 5 = 49 - 5 = 44\] vilket kan tolkas som att när \(x\) är lika med \(7\), antar \(f(x)\) värdet \(44\). Säg nu att \(x\) inte är lika med \(7\), utan \(x\) bara ligger väldigt nära \(7\) eller att \(x\) närmar sig \(7\) utan att faktiskt bli \(7\). Då kan vi förstå intuitivt att \(f(x)\) i så fall närmar sig \(44\) utan att faktiskt bli \(44\). Kortfattat skriver vi \[x^2 - 5 \to 44 \text{ då } x \to 7\] alternativt \[\lim_{x \to 7} x^2 - 5 = 44\] Detta koncept inom analys kallas gränsvärde. Ett gränsvärde för en funktion \(f(x)\) anger hur stort värde funktionen kan anta när \(x\) går mot (synonym: närmar sig) ett visst värde eller växer obegränsat mot \(\pm \infty\).

Standardgränsvärden

En del gränsvärden inom kursens ram är så pass ofta förekommande att de informellt räknas som standard och är värda att lägga på minnet.

Grupp 1: (Simpla grafer)
Några gränsvärden kan snabbt skrivas upp genom att känna till hur vissa elementära funktioner och deras grafer beter sig: \[\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} e^x = \infty, &\quad &\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \\ & \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty, &\quad &\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \\ & \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0, &\quad &\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \\ & \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, &\quad &\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \\ & \lim_{x \to \infty} \sin x \text{ saknas (pga. oscillation)}, &\quad & \lim_{x \to -\infty} \sin x \text{ saknas } \\ & \lim_{x \to \infty} \cos x \text{ saknas (pga. oscillation)}, &\quad & \lim_{x \to -\infty} \cos x \text{ saknas } \\ & \lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, &\quad &\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2} \end{aligned}\]

Anmärkning:

Beteckningen \(x \to 0^+\) i uttrycket \(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\) brukar avläsas “\(x\) går mot \(0\) från höger”, dvs. \(x\) kan betraktas som något tal som är lite grand större än \(0\). Att \(x \to 0^-\) är irrelevant beror på att \(\ln x\) inte är definierad för negativa \(x\) (och inte heller för \(x = 0\)).

Grupp 2: (Kvoter)
Följande gränsvärden kan intuitivt tolkas som att när \(x\) är mycket stort (\(x \to \infty\)), är \(e^x\) (exponentialfunktion) mycket större än \(x^\alpha\) (potensfunktion, med godtycklig exponent \(\alpha > 0\)), vilken i sin tur är mycket större än \(\ln x\) (logaritmfunktion): \[\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^\alpha} = \infty, &\quad &\lim_{x \to \infty} \frac{x^\alpha}{e^x} = 0 \\ & \lim_{x \to \infty} \frac{x^\alpha}{\ln x} = \infty, &\quad &\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0\end{aligned}\]

En annan känd kvot är \(\frac{\sin x}{x}\). Om vi exempelvis tittar på kurvorna \(y = \sin x\) och \(y = x\), ser vi att \(\sin x \approx x\) där \(x \approx 0\). Denna intuition leder till det tentamenspopulära gränsvärdet \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\] vilket också kan bevisas rigoröst, eller bekräftas (men inte bevisas) med l'Hospitals regel som ofta senare i kursen lärs ut i samband med Taylorpolynom.

Obestämd form

Inte alla gränsvärden kan beräknas genom att direkt ersätta \(x\) med ett tal. Det är enkelt att se att \(\lim_{x \to 7} x^2 - 5 = 44\) genom att på första hand ersätta \(x\) i \(x^2 - 5\) med \(7\). Säg nu att vi ska bestämma \[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8}\] Vid direkt ersättning fås det bisarra uttrycket \[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8} = \frac{2^2 - 4}{2^2 + 2\cdot 2 - 8} = \frac{0}{0}\] där \(\frac{0}{0}\) inte ger någon information om vilket värde \(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8}\) närmar sig då \(x\) närmar sig \(2\). Vi säger då att \(\frac{0}{0}\) är en obestämd form vid beräkning av gränsvärden.

Nedan visas flera uttryck som bevisats vara obestämd former: \[\begin{aligned} &\text{1. Differens: } &\infty - \infty \\ &\text{2. Produkt: } &0 \cdot \infty \\ &\text{3. Potens: } &0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty \\ &\text{4. Kvot: } &\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}\end{aligned}\]

Anmärkning:

1. Summan \(\infty + \infty\) är inte en obestämd form. Om \(f(x) \to \infty\) och \(g(x) \to \infty\) när \(x \to a\) (där \(a\) är något tal eller \(\pm \infty\)), gäller garanterat att \[\lim_{x \to a} f(x) + g(x) = \infty\] Produkten \(\infty \cdot \infty\) är inte heller en obestämd form. Om \(f(x) \to \infty\) och \(g(x) \to \infty\) när \(x \to a\), gäller garanterat att \[\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = \infty\] 2. Att \(1^\infty\) räknas som en obestämd form innebär att om \(f(x) \to 1\) och \(g(x) \to \infty\) när \(x \to a\), kan vi inte på rak arm bestämma \[\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}\] utan att veta vad \(f\) och \(g\) är för funktioner. Två kända exempel är \[\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} 1^x = 1 \text{ (fås med enkel taluppfattning)} \\ & \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \approx 2,718 \text{ (upptäcktes av Jakob Bernoulli år 1683) }\end{aligned}\]

Ensidigt gränsvärde

Vissa funktioner kan i en punkt \(x = a\) anta två olika gränsvärden, beroende på om vi låter \(x \to a^+\) (något tal lite grand större än \(a\)) eller \(x \to a^-\) (något tal lite grand mindre än \(a\)). Ett typiskt exempel är \[\begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, &\quad &\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\end{aligned}\] Vi säger att högergränsvärdet av \(\frac{1}{x}\) är \(\infty\) och vänstergränsvärdet av \(\frac{1}{x}\) är \(-\infty\), när \(x \to 0\).

Existens av gränsvärde: För att gränsvärdet \(\lim_{x \to a} f(x)\) ska existera, krävs att både \[\lim_{x \to a^+} f(x) \quad \text{ och } \quad \lim_{x \to a^-} f(x)\] existerar (som tal) och är lika med varandra. Språkbruk: Om \(\lim_{x \to a} f(x) = \infty\) eller \(\lim_{x \to a} f(x) = -\infty\), säger vi att gränsvärdet \(\lim_{x \to a} f(x)\) inte existerar (synonym: saknas). Detta är för att \(\infty\) och \(-\infty\) inte räknas som tal.