Funktionsinvers

Funktionsinvers

Definition: Låt \(f\) vara en funktion med definitionsmängd \(X\) och värdemängd \(Y\). Om det finns en funktion \(g\) med definitionsmängd \(Y\) och värdemängd \(X\) sådan att \[\begin{aligned} &g\left(f(x)\right) = x \quad \text{för alla } x \in X\end{aligned}\] sägs \(f\) vara en interverbar funktion och \(g\) kallas inversen till \(f\). Av praktiska skäl betecknas \(g(x)=f^{-1}(x)\).

Anmärkning: Av definitionen följer att \[D_f = V_{f^{-1}} \quad \text{och} \quad V_f = D_{f^{-1}}\]

för alla inverterbara funktioner \(f\).

Sats 1: En funktion \(f\) är inverterbar om och endast om \(f\) är injektiv, dvs. \[a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)\] för alla \(a,b \in \mathbb{R}\).

Anmärkning: I vissa andra kurser lyder kravet ovan egentligen att \(f\) är inverterbar om och endast om \(f\) är både injektiv och surjektiv. I envariabelanalysen räcker dock injektivitet för inverterbarhet ty vi alltid kan inskränka målmängden av \(f\) så att \(f\) blir surjektiv.

Sats 2: Om en funktion \(f\) är strängt monoton, dvs. strängt växande eller strängt avtagande, är \(f\) är en injektiv funktion och därmed inverterbar.