Satsen om mellanliggande värden

(ej att förväxla med medelvärdessatsen)

Sats: Låt \(f\) vara en kontinuerlig funktion på intervallet \([a,b]\). Om \(y_0\) är något tal mellan \(f(a)\) och \(f(b)\), finns det minst en punkt \(x=x_0\) inom \([a,b]\) sådan att \[f(x_0)=y_0\]

Viktigt specialfall: Låt \(f\) vara en kontinuerlig funktion på intervallet \([a,b]\). Antag att \(f(a)\) och \(f(b)\) har olika teckenvärden, dvs. \[f(a)<0<f(b) \quad \text{eller} \quad f(b)<0<f(a)\] Då finns det garanterat minst en punkt \(x=x_0\) mellan \(a\) och \(b\) sådan att \[f(x_0)=0\] Denna \(x_0\) sägs vara en lösning till ekvationen \(f(x)=0\).