Derivatans definition

Definition: Derivatan av en funktion \(f\) i punkten \(x=a\) definieras som \[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\] om detta gränsvärde existerar.

Funktionen \(f\) sägs då vara deriverbar i \(x=a\). Annars sägs det att \(f\) är oderiverbar i \(x=a\) eller att derivatan av \(f\) inte existerar i \(x=a\).

Sats: Om \(f\) är deriverbar i \(x=a\), är \(f\) också kontinuerlig i \(x=a\).

Att komma ihåg: 1. Gränsvärdet \(\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) då \(h \to 0\) existerar om och endast om \[\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = C\] där \(C\) är ett tal .

2. Om \(f\) är definierad endast på ett slutet intervall \([a,b]\) existerar inte derivatan av \(f\) i ändpunkterna \(x=a\) och \(x=b\).

3. Om \(f\) inte är definierad eller kontinuerlig i \(x=a\), kan \(f\) omöjligen ha derivatan i \(x=a\).

4. Ett tentamenspopulärt tecken för oderiverbarhet av en funktion i \(x=a\) är att funktionens graf inte är glatt i \(x=a\) . Tänk på grafen för kändisen \(f(x)=|x|\) som inte är deriverbar i \(x=0\).