Exempel 1: Lös ekvationen \[|2x-4| = -x + 3\] Lösning: Ett första steg för att göra ekvationen enklare är att försöka få bort absolutbeloppstecknen i vänsterledet, med hjälp av definitionen. Om vi tänker att \(a = 2x - 4\), kan vi skriva \[\begin{aligned} & |a| = \begin{cases} a & \text{om } a \geq 0 \\ -a & \text{om } a < 0 \end{cases} \\ \Rightarrow \, & |2x-4| = \begin{cases} 2x-4 & \text{om } 2x-4 \geq 0 \\ -(2x-4) & \text{om } 2x-4 < 0 \end{cases} = \begin{cases} 2x-4 & \text{om } x \geq 2 \\ -2x + 4 & \text{om } x < 2 \end{cases} \end{aligned}\] Låt oss nu betrakta två enskilda fall.
Fall 1: Om \(x \geq 2\) övergår den ursprungliga ekvationen i \[\begin{aligned} & |2x-4| = -x + 3 \\ \Rightarrow &\, 2x - 4 = - x +3 \\ \Rightarrow &\, 3x = 7 \\ \Rightarrow &\, x = \frac{7}{3}\end{aligned}\] Då \(x = 7/3\) faktiskt uppfyller \(x \geq 2\) (för detta fall), är \(x = 7/3\) en giltig lösning.
Fall 2: Om \(x < 2\) övergår den ursprungliga ekvationen i \[\begin{aligned} & |2x-4| = -x + 3 \\ \Rightarrow &\, -2x + 4 = - x +3 \\ \Rightarrow &\, x = 1 \end{aligned}\] Då \(x = 1\) faktiskt uppfyller \(x < 2\) (för detta fall), är \(x = 1\) en giltig lösning.
Svar: Ekvationen har två lösningar, nämligen \(x = 1\) och \(x = 7/3\).
Anmärkning: Lösningarnas giltighet kan även kontrolleras genom insättning i ursprunglig ekvation. För \(x = 7/3\): \[\begin{aligned} & \text{VL} = \left|2\cdot \frac{7}{3} - 4 \right| = \left|\frac{14}{3} - \frac{12}{3} \right| = \frac{2}{3} \\ & \text{HL} = -x + 3 = -\frac{7}{3} + 3 = -\frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{2}{3} = \text{VL} \\ \Rightarrow \, & x = \frac{7}{3} \text{ är en lösning}\end{aligned}\]
För \(x = 1\): \[\begin{aligned} & \text{VL} = \left|2\cdot 1 - 4 \right| = \left|2 - 4 \right| = 2 \\ & \text{HL} = -1 + 3 = 2 = \text{VL} \\ \Rightarrow \, & x = 1 \text{ är en lösning}\end{aligned}\]
Exempel 2: (KTH, SF1625 Tentamen 2018.01.08 uppgift 1)
Rita grafen till funktionen \[f(x) = |x-3| + |x| - 4\]
Lösning: Definitionen för absolutbelopp ger \[\begin{aligned} |x| = \begin{cases} x & \text{om } x \geq 0 \\ -x & \text{om } x < 0 \end{cases} \end{aligned}\] och \[\begin{aligned} |x-3| = \begin{cases} x-3 & \text{om } x-3 \geq 0 \\ -(x-3) & \text{om } x-3 < 0 \end{cases} = \begin{cases} x-3 & \text{om } x \geq 3 \\ -x+3 & \text{om } x < 3 \end{cases} \end{aligned}\] Resultaten kan sammanställas med följande diagram:
Nu kan vi se att \(f(x) = |x-3| + |x| - 4\) kan skrivas om till tre olika uttryck beroende på vilket intervall \(x\) tillhör, dvs. huruvida \(x < 0\), \(0 \leq x < 3\) eller \(x \geq 3\): \[\begin{aligned} f(x) = |x-3| + |x| - 4 & = \begin{cases} -x+3 - x -4 & \text{om } x < 0 \\ -x+3+x-4 & \text{om } 0 \leq x < 3 \\ x-3+x-4 & \text{om } x \geq 3 \end{cases} \\ & = \begin{cases} -2x -1 & \text{om } x < 0 \\ -1 & \text{om } 0 \leq x < 3 \\ 2x - 7 & \text{om } x \geq 3 \end{cases}\end{aligned}\] Grafen till \(f\) kan alltså ritas som en komposition av tre räta linjestycken. Själva utförandet lämnas till läsaren.
Tam Vu
för 4 år sedan