Satsen om lösbarhet

Sats: Låt ett linjärt ekvationssystem ges av totalmatrisen \(\begin{bmatrix} A & | & \vec{b} \end{bmatrix}\). Antag att \(\begin{bmatrix} A & | & \vec{b} \end{bmatrix}\) med hjälp av elementära radoperationer kan överföras till \(\begin{bmatrix} S & | & \vec{c} \end{bmatrix}\), där \(S\) är en matris på trappstegsform .

FALL 1. Ekvationssystemet ifråga saknar lösning om och endast om någon rad i \(\begin{bmatrix} S & | & \vec{c} \end{bmatrix}\) är på formen \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & | & k \end{bmatrix}\), där \(k \neq 0\).

Annars finns det två möjligheter:

FALL 2. Om antalet ledande element i \(S\) är lika med antalet variabler , har systemet exakt en lösning.

FALL 3. Om antalet ledande element i \(S\) är mindre än antalet variabler, har systemet oändligt många lösningar.

(Påminnelse: Det första nollskilda elementet i en rad av en matris kallas radens ledande element.)

Determinant och lösbarhet

Sats: Låt ett linjärt ekvationssystem ges av totalmatrisen \(\begin{bmatrix} A & | & \vec{b} \end{bmatrix}\). Antag att \(A\) är en kvadratisk matris.

FALL 1. Ekvationssystemet ifråga har exakt en lösning om och endast om \(\det{A} \neq 0\).

FALL 2. Om \(\det{A} = 0\) kan systemet antingen ha ingen lösning eller oändligt många lösningar. Ytterligare undersökningar måste göras för att en säker slutsats ska kunna dras.