Det var inte alldeles givet hur man skule komma på lösningen, även om själva lösningsgången sen var lätt...

Orimlig uppgift, för svår för första uppgift

är inte vektorn b2 fel? det bör ju vara 1/3*(-4,1,-1)

Den här var himla lätt :D

vad menas med [f]w?

Det gäller allmänt att $$\text{Row } (A)=\text{Col } (A^T) = (\text{Null } (A))^{\perp}$$. Bra att ha i verktygslådan för ev. andra del C-uppgifter där det är fördelaktigt att utnyttja denna egenskap.

Notera att $\text{det}(\lambda I - D)$ och $\text{det}(D-\lambda I)$ båda fungerar för att ta fram egenvärdena till en matris.

Om man ändå räknar med inversen av U istället för transponatet. Då får man ju samma matris som de har fått fram, fast multiplicerad med 1/2. Skulle man få fel om man råkar göra så istället?

Varför kan man inte bara välja att att normalvektorn är w?

Går också att tänka på b) att $\vec u \times \vec v$ ger en vektor som är vinkelrät mot både $\vec u$ och $\vec v$ (av definitionen för kryssprodukt). Och skalärprodukten mellan två ortogornala ("vinkelräta") vektorer är $0$, så där hittar vi en given vektor i nollrummet. På samma sätt är kryssprodukten en godtycklig vektor $\vec a$ lika med $\vec 0$ då $\vec a \times \vec a$. Då kan man tänka att $\vec u$ är med i nollrummet också. Man kan även tänka att för avbildningsmatrisen är alla kolumner linjärt beroende av varandra. Tar vi t.ex. kolumnen $1$ kan vi skriva de andra som linjärkombinationer av den. Vi har då en bas för bildrummet som $\text{span}(\begin{pmatrix}1\end{pmatrix})$. Enligt dimensionssatsen kan vi verifiera att dimensionerna stämmer.

En geometrisk tolkning är nice att göra tycker jag. Om vi kollar på $$\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}$$ motsvarar det den linjära transformationen som avbildar $x$-axeln på $y$-axeln och $y$-axeln på $\vec 0$. Rent visuellt "squishas" allt ihop till en linje genom $x=0$ skulle man kunna kalla det lite slarvigt uttryckt sådär.

Vid kryssprodukten, kan man ta AB x AC ist för exempel ovan? Jag tänkte eftersom det blir andra resultat till kryssprodukten och det blir då också en annan ekvation för planet

Oklart var origo är definerat. Satte min i o och helt enkelt vände upp och ned på kordinatsystemet. Verkar inte få samma

För att i b) visa att u och v är linjärt oberoende tog jag med samma metod som i a) fram koordinatmatrisen för u, vilket jag fick till (3/5,1/5), och visade sedan att den var linjärt oberoende med (2/5,-1/5). Har jag tänkt rätt? Kan man resonera så?

För att i b) visa att u och v är linjärt oberoende tog jag med samma metod som i a) fram koordinatmatrisen för u, vilket jag fick till (3/5,1/5), och visade sedan att den var linjärt oberoende med (2/5,-1/5). Har jag tänkt rätt? Kan man resonera så?

hur funkar matrismultiplikation i a

För att besvara några frågor som ställts här innan. Med ortogornal projektion på $\Pi$ menas att vi projicerar en vektor på $\Pi$, dvs. vi söker den delen av $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ som är parallell med planet i a) osv. för de övriga uppgifterna. Notera även att $$(\frac{v\cdot \hat n}{\vec n \cdot \hat n}) \hat n$$ är samma projektionsformel som den man kanske mest känner igen från kursen, dvs. $$\text{proj}_{\hat n}(\vec p)=\frac{\vec v \cdot \hat n}{\left|| \hat n \right||} \hat n$$. Facit skriver bara formeln på ett annat sätt. Det går att visa att de är ekvivalenta om man så önskar eller göra en enkel härledning för att verifiera det.

Spår är inte en del av kursen "Algebra & Geometri" - SF1624 på KTH 2024. Så oroa dig inte!

Hur vet man baserat på dessa bilder, vilken vektor det är som avbildas? Väldigt oklart när ena delen av kvadraten är blå o.s.v, man ser ingen vektor, eller hur gör man ens?

Ser inte hela lösningen pga ai: "Hur kan jag hjälpa dig med denna uppgift?"