Riktningsderivata

Definition: Låt \(f\) vara skalärvärd funktion. Riktningsderivatan av \(f\) i punkten \(\boldsymbol{\alpha}\), i den riktning som ges av vektorn \(\mathbf{v} \neq 0\) är definierad enligt \[D_\mathbf{v} f(\boldsymbol{\alpha}) = \frac{\mathbf{v}}{\left \lVert \mathbf{v} \right \rVert} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} \text{grad} \, f(\boldsymbol{\alpha})\]

Anmärkning: 1. Denna riktningsderivata kan tolkas som hur snabbt \(f\) ändras i riktningen \(\mathbf{v}\) ifrån punkten \(\boldsymbol{\alpha}\).

2. Vektorn \(\displaystyle{\frac{\mathbf{v}}{\left \lVert \mathbf{v} \right \rVert}}\) är precis den enhetsvektor som pekar i samma riktning som \(\mathbf{v}\).

En viktig olikhet

Sats: Låt \(f\) vara en skalärvärd funktion. Låt \(D_\mathbf{v} f(\boldsymbol{\alpha})\) vara riktningsderivatan av \(f\) i punkten \(\boldsymbol{\alpha}\), i den riktning som ges vektorn \(\mathbf{v} \neq 0\). Då gäller \[-\left \lVert \text{grad} \, f(\boldsymbol{\alpha}) \right \rVert \leq D_\mathbf{v} f(\boldsymbol{\alpha}) \leq \left \lVert \text{grad} \, f(\boldsymbol{\alpha}) \right \rVert\]

Anmärkning: Dessa till synes jobbiga olikheter har en naturlig tolkning. Tänk dig att du är ute i naturen och vandrar på en bergsyta vars höjd \(z\) beskrivs av en funktion \(f\) enligt \(z = f(x,y)\). Du står nu i punkten \(\boldsymbol{\alpha}\).

Gradienten \(\text{grad} \, f(\boldsymbol{\alpha})\) visar åt vilket håll ifrån punkten \(\boldsymbol{\alpha}\) berget lutar som mest, och \(\left \lVert \text{grad} \, f(\boldsymbol{\alpha}) \right \rVert\) visar hur mycket denna största lutning är. Riktningsderivatan \(D_\mathbf{v} f(\boldsymbol{\alpha})\) visar å andra sidan bergytans lutning i en godtycklig riktning \(\mathbf{v}\), och kan därför aldrig vara större än \(\left \lVert \text{grad} \, f(\boldsymbol{\alpha}) \right \rVert\) som är den största möjliga lutningen.