Komplexa tal

Definition: Ett komplext tal \(z\) är ett tal som kan skrivas på formen \[z = a + bi\] där \(a\) och \(b\) är reella tal och \(i\) kallas den imaginära enheten med egenskapen \(i^2 = -1\) .

Viktiga begrepp: Nedan ges några viktiga begrepp som direkt har en koppling till ett komplext tal \(z = a + bi\) .

Komplexa tal och de fyra räknesätten

Givet två komplexa tal \(z = a + bi\) och \(w = c + di\) . Additionen, subtraktionen och multiplikationen mellan \(z\) och \(w\) genomförs som med sedvanliga polynomräkningar, medan divisionen ofta kräver en fiffig omskrivning.

Addition: \(z + w = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i\)

Detta innebär med andra ord att \(\operatorname{Re}(z+w) = \operatorname{Re}(z)+\operatorname{Re}(w)\) och \(\operatorname{Im}(z+w) = \operatorname{Im}(z)+\operatorname{Im}(w)\) .

Subtraktion: \(z - w = (a + bi) - (c + di) = a + bi - c - di = (a-c) + (b-d)i\)

Detta innebär med andra ord att \(\operatorname{Re}(z-w) = \operatorname{Re}(z)-\operatorname{Re}(w)\) och \(\operatorname{Im}(z-w) = \operatorname{Im}(z)-\operatorname{Im}(w)\) .

Multiplikation: \(zw = (a + bi)(c + di) = ac+adi + bci - bd =(ac-bd) +(ad+bc)i\)

Notera att termen \(-bd\) kommer ifrån att \(i^2 = -1\) och \(bi \cdot di = bd \cdot i^2 = -bd\) .

Specialfall: Multiplikationen mellan \(z\) och dess komplexkonjugat \(\bar{z}\) ger alltid ett reellt tal: \[z \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2\] Division: Genom att förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat erhålls \[\frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac - adi + bci + bd}{c^2 + d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2 +d^2} i\]

Komplexa tal & de fyra räknesätten