Kovarians

Definition: Kovariansen \(C\) är ett mått på hur två stokastiska variabler beror av varandra.

\[C\left( X,Y \right) = E\left\lbrack \left( X - \mu_{x} \right)\left( Y - \mu_{y} \right) \right\rbrack = E\left( XY \right) - E\left( X \right)E(Y)\]

Om \(C\left( X,Y \right) = 0\) är \(X\ \)och \(Y\) okorrelerade.

Om \(X\) och \(Y\) är oberoende är de även okorrelerade.

Korrelationskoefficienten ges av

\[\rho\left( X,Y \right) = \frac{C(X,Y)}{D\left( X \right)D(Y)}\]

Några viktiga egenskaper:

\[ C\left( X,Y \right) = C\left( Y,X \right) \]

\[ C\left( aX,bY \right) = ab \ C\left( X,Y \right) \]

\[ C\left( X + a,Y + b \right) = C\left( X,Y \right) \]

\[ C\left( X,X \right) = V(X) \]