Betingad sannolikhet

Definition: Sannolikheten att \(B\) inträffar, givet att \(A\) redan gjort det, är definierad enligt \[P\left(B\mid A\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

Populära omskrivningar: \[P(A\cap B) = P(A)\,P(B\mid A) = P(B)\, P(A\mid B)\] \[P(B^* \mid A) = 1 - P (B \mid A)\]

Exempel: \(500\) studenter ska skriva nästa tenta i Sannolikhetsteori och statistik och pluggar för fullt. Sannolikheten att en student använder kollin.io i sina studier är \(0,8\). Sannolikheten att en student både använder kollin.io och klarar tentan är \(0,72\).

Vad är sannolikheten att en student som använt kollin.io klarar tentan?

Lösning: Vi introducerar

\(A\): händelsen att använda kollin.io
\(B\): händelsen att klara tentan

Då gäller \[\begin{aligned} P\left(A\right)=0,8 \\ P\left(A\cap B\right)=0,72\end{aligned}\]

Sannolikheten att klara tentan givet att studenten använt kollin.io är därför \[P\left(B\mid A\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}= \frac{0,72}{0,8}=0,9\]

Svar: \(0,9\)

Anmärkning: Ingen större statistisk undersökning ligger till grund för de här siffrorna. Siffrorna kanske till och med är tagna helt ur luften. Men du verkar vara på riktigt god väg mot ett strålande tentaresultat som tagit dig hela vägen hit. Kämpa på!