Naturliga koordinater

Ett annat sätt att uttrycka en partikels rörelse i ett kordinatsystem är med hjälp av naturliga koordinater. Vi betraktar ortsvektorn \(\mathbf{r}\) som funktion av partikelsrörelsens längd \(s\) från en vald startsträcka. Eftersom partikelrörelsens längd är beroende av tiden \(s = s(t)\) kommer vi få ett uttryck enligt \[\mathbf{r} = \mathbf{r}\big(s(t)\big)\] Nu väljs 2 enhetsvektorer som vi kallar \(\mathbf{e}_t\) och \(\mathbf{e}_n\). Tanken är att \(\mathbf{e}_t\) alltid har samma riktning som partikelrörelsen och \(\mathbf{e}_n\) är alltid vinkelrät mot partikelrörelsen. Notera nu att \(\mathbf{e}_t\) och \(\mathbf{e}_n\) är beroende av tiden \(t\), det vill säga, \(\mathbf{e}_t = \mathbf{e}_t(t)\) och \(\mathbf{e}_n = \mathbf{e}_n(t)\).

Eftersom \(\mathbf{e}_t\) nu alltid följer partikelns rörelse kan hastigheten \(\mathbf{v}\) skrivas enligt \[\mathbf{v} = v\mathbf{e}_t\] För att beräkna partikelaccelerationen \(\mathbf{a}\) tidsderiveras \(\mathbf{v}\). Lägg märke till att både \(v\) och \(\mathbf{e}_t\) är tidberoende. Med hjälp av en del linjär algebra kommer vi fram till att partikelaccelerationen \(\mathbf{a}\) skrivs enligt \[\mathbf{a} = \ddot{s}\mathbf{e}_t + \frac{\dot{s}^2}{\rho}\mathbf{e}_n = \dot{v}\mathbf{e}_t + \frac{{v}^2}{\rho}\mathbf{e}_n\] där \(\rho\) är partikelns krökningsradie.

I ett tredimensionellt fall kompletteras \(\mathbf{e}_t\) och \(\mathbf{e}_n\) med en enhetsvektor \(\mathbf{e}_b\) som beräknas enligt \[\mathbf{e}_b = \mathbf{e}_t \times \mathbf{e}_n\]