Binomialsatsen

Binomialsatsen är en känd sats inom kombinatorik och används framför allt för att utveckla uttryck av typen \[(a+b)^n\] där \(n\) är något positivt heltal. Uttrycket \((a+b)\) kallas i detta sammanhang ett binom, dvs. ett polynom med två termer.

Sats: \[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k \, b^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} \, b^{k}\] Minns att binomialtalet \(\binom{n}{k}\) kan beräknas med hjälp av Pascals triangel eller enligt formeln \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!}\] Specialfall: \[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\]