Summor och serier

Summasymbolen

Summasymbolen \(\sum\) kommer av den grekiska bokstaven (stora) “sigma” och används för att på ett smidigt sätt ange en summa av flera termer. Med exempelvis \[\sum_{k=5}^{8} \frac{2k + 1}{3^k}\] menar vi en summa där varje term har formen \(\frac{2k + 1}{3^k}\) och där det heltaliga summationsindexet \(k\) varierar från \(5\) (undre gränsen) till \(8\) (övre gränsen). Alltså: \[\sum_{k=5}^{8} \frac{2k + 1}{3^k} = \frac{2\cdot 5+1}{3^5} + \frac{2\cdot 6+1}{3^6} + \frac{2\cdot 7+1}{3^7} + \frac{2\cdot 8+1}{3^8} = \frac{11}{3^5} + \frac{13}{3^6} + \frac{15}{3^7} + \frac{17}{3^8}\] En serie är en summa med oändligt många termer, exempelvis \[\sum_{j=3}^{\infty} \frac{2}{j} = \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + \frac{2}{5} + \dots\] Om vi inte behöver veta exakt hur varje term ser ut, kan vi ange summan enligt \[\sum_{k=m}^{n} a_k\]

Om vi inte heller bryr om oss exakt vilka summationsgränser som är aktuella, kan vi även ange summan enligt \[\sum_{k} a_k\]

---

Räknelagar

För att kunna beräkna och analysera summor kan följande räknelagar vara kraftfulla.

1. Homogenitet: \[\sum_{k} c \, a_k = c \sum_{k} a_k\] om \(c\) är en konstant.

2. Additivitet: \[\sum_{k} a_k + \sum_{k} b_k = \sum_{k} \left ( a_k + b_k \right)\] om delsummorna \(\sum_{k} a_k\) och \(\sum_{k} b_k\) har samma undre och övre gränser.

3. Intervalluppdelning: \[\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n} a_k\] om \(m < p < n\).

Exempel: Observera att \[\sum_{k=1}^{10} k^2 = \sum_{k=1}^{3} k^2 + \sum_{k=4}^{10} k^2\] och \[\sum_{k=1}^{10} k^2 \neq \sum_{k=1}^{3} k^2 + \sum_{k=3}^{10} k^2\] Detta är helt enkelt för att termen \(3^2\) inte ska få räknas två gånger.

---

Geometrisk summa

En viktig typ av summa i flera matematikkurser på högskolenivå är geometrisk summa, vilken också har förekommit i kurser på gymnasiet. En geometrisk summa kan generellt skrivas \[\sum_{k=m}^{n} r \, a^k = r \, a^m + r \, a^{m+1} + r \, a^{m+2} + \dots + r \, a^{n}\] Notera att kvoten mellan två konsekutiva termer i en geometrisk summa alltid är potensbasen \(a\): \[\frac{r \, a^{m+1}}{r \, a^m} = \frac{r \, a^{m+2}}{r \, a^{m+1}} = \dots = a\]

Sats: Om undre gränsen är \(m = 0\) och övre gränsen \(n\) är ett godtyckligt heltal större än \(0\), gäller \[\sum_{k=0}^{n} r \, a^k = r \, \sum_{k=0}^{n} a^k = r \, \frac{a^{n+1} - 1}{a - 1}\] alternativt \[\sum_{k=0}^{n} r \, a^k = r \, \frac{1 - a^{n+1} }{1 - a}\] efter en enkel omskrivning för bråk.

Om övre gränsen anges som \(\infty\), erhålls en så kallad geometrisk serie och resultatet kan förenklas vidare enligt \[\sum_{k=0}^{\infty} r \, a^k = r \, \frac{1}{1 - a}\] förutsatt att \(|a| < 1\) (med andra ord: \(-1 < a < 1\)). Detta är eftersom \(a^{n+1} \to 0\) då \(n \to \infty\) om \(|a| < 1\) (exempel: \(0,42^n \to 0\) då \(n \to \infty\)).