Polynomekvation av högre grader

Det finns ingen enkel färdig formel som vi normalt ska använda för att lösa en polynomekvation av grad högre än \(2\) . Nedan beskrivs en typisk procedur för att bestämma alla tre lösningar till en ”snäll” tredjegradsekvation på formen \[x^3 + ax^2 + bx + c = 0\] Med ”snäll” menas att ekvationen har minst en enkel lösning som kan fås fram med hjälp av snabb inspektion.

Steg 1: Gissa en lösning till ekvationen. Oftast har ”tentamensrimliga” tredjegradsekvationer någon av de relativt små heltalslösningarna \(0\) , \(\pm 1\) och \(\pm 2\) . Säg att vi funnit en lösning \(x_1 = \omega\) .

Steg 2: Genomför nu polynomdivisionen \[\frac{x^3 + ax^2 + bx + c}{x - \omega}\] Om vi räknar rätt bör divisionen gå jämnt ut, dvs. att resten ska vara \(0\) . Divisionen kan genomföras genom exempelvis en uppställning. (”Liggande stolen” är typisk i Sverige.)

Om resultatet blir \[\frac{x^3 + ax^2 + bx + c}{x - \omega} = x^2 + px + q\] för några tal \(p\) och \(q\) , kan vi skriva \[\begin{aligned} &x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \\ \Leftrightarrow &\,(x-\omega)(x^2 + px + q) = 0\end{aligned}\] Steg 3: Nollproduktmetoden ger att antingen \(x-\omega = 0\) eller \(x^2 + px + q = 0\) .

Från \(x-\omega = 0\) får vi lösningen \(x_1 = \omega\) som redan fanns i Steg 1 .

De två resterande lösningarna till \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\) erhålls genom att lösa ekvationen \(x^2 + px + q = 0\) , vilket borde vara enkelt.

Polynom & polynomekvation av högre grader

Polynom & polynomekvation av högre grader