Matrisinvers

Definition: Låt \(A\) vara en kvadratisk \(n \times n\)-matris. Antag det finns en kvadratisk \(n \times n\)-matris \(B\) sådan att \[AB = BA = I\] där \(I = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{bmatrix}\) kallas identitetsmatrisen, alternativt enhetsmatrisen, och består av endast ettor i huvuddiagonalen samt endast nollor i de övriga positionerna.

Vi säger då att \(A\) är inverterbar och \(B\) är inversen till \(A\).

Kort och gott skriver vi \[B = A^{-1}\]

Sats: En kvadratisk matris \(A\) är inverterbar \(\Leftrightarrow \det{A} \neq 0\).

Bestämning av matrisinvers

Två typiska metoder för att räkna ut inversen av en given matris är adjunktformeln och radoperationer.

METOD I - Adjunktformeln: Inversen \(A^{-1}\) ges av formeln \[A^{-1} = \frac{1}{\det{A}}\, \operatorname{adj}{A}\] där \(\operatorname{adj}{A}\) betecknar adjunktmatrisen av \(A\), vilken även kallas den transponerade kofaktormatrisen av \(A\). Trots att formeln gäller alla kvadratiska matriser, används den oftast ifall \(A\) är en \(2 \times 2\)-matris. (Annars är det väldigt ansträngande att räkna ut \(\operatorname{adj}{A}\).)

Specialfall: Om \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) och \(\det{A} \neq 0\), gäller \[A^{-1} = \frac{1}{\det{A}}\,\text{adj}\,A = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

METOD II - Radoperationer: Inversen \(A^{-1}\) kan fås med hjälp av räkneschemat \[\begin{bmatrix} A & | & I \end{bmatrix} \sim \ldots \sim \begin{bmatrix} I & | & A^{-1} \end{bmatrix}\] Algoritm: Skapa en tvådelad matris med \(A\) till vänster och identitetsmatrisen \(I\) av samma storlek till höger. Utför lämpliga radoperationer tills \(I\) uppstår i den vänstra delen. Då kommer den sökta \(A^{-1}\) att uppstå i den högra delen.