Cylindriska koordinater

Att uttrycka en partikels rörelse i cylinderkoordinater är ett kraftfullt verktyg som underlättar många beräkningar. Betrakta en partikel med tre koordinater \(r, \theta\) och \(z\). En ortvektor kan då skrivas enligt \[\mathbf{r} = r\mathbf{e}_r + z\mathbf{e}_z\] genom att tidsderivera \(\mathbf{r}\) fås partikelns hastighet enligt \[\mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\mathbf{e}}_r + \dot{z}\mathbf{e}_z + z\dot{\mathbf{e}}_z\] observera att enhetsvektorn \(\mathbf{e}_z\) ej beror av tiden \(t\) till skillnad från \(\mathbf{e}_r\) vilket ger att \[\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}{\mathbf{e}}_\theta + \dot{z}\mathbf{e}_z\] eftersom \(\dot{\mathbf{e}}_r =\dot{\theta}\mathbf{e}_\theta\) och \(\dot{\mathbf{e}}_\theta = -\dot{\theta}\mathbf{e}_r\).

Tidsderierar vi partikelhastigheten \(\mathbf{v}\) fås partikelaccelerationen \(\mathbf{a}\) enligt \[\mathbf{a} = \dot{\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{r}\mathbf{e}_r + \dot{r}\dot{\mathbf{e}}_r + \dot{r}\dot{\theta}\mathbf{e}_\theta + r\ddot{\theta}\mathbf{e}_\theta + r\dot{\theta}\dot{\mathbf{e}}_\theta + \ddot{z}\mathbf{e}_z\] vilket kan skrivas komponentvis enligt \[\mathbf{a} = \big( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \big)\mathbf{e}_r + \big( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \big)\mathbf{e}_\theta + \ddot{z}\mathbf{e}_z\]