Definition: Låt \(f(x,y,z)\) vara en skalärvärd funktion. Gradienten av \(f\) betecknas \(\text{grad}\,f\), alternativt \(\nabla f\), och ges av \[\text{grad}\,f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\] Om \(f=f(x,y)\) gäller analogt \[\text{grad}\,f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\]
Observera att gradienten av en skalärvärd funktion är en vektor.
Sats: Låt \(f\) vara en skalärvärd funktion. Då visar gradientvektorn \(\text{grad}\,f\) den riktning i vilken \(f\) ökar som snabbast. Den maximala ökningstakten är \(\left \lVert \text{grad}\,f \right \rVert\).
På samma sätt visar \(-\text{grad}\,f\) den riktning i vilken \(f\) minskar som snabbast. Den maximala minskningstakten är \(\left \lVert -\text{grad}\,f \right \rVert = \left \lVert \text{grad}\,f \right \rVert\).
Sats 1: Låt en yta i rummet ges av \(f(x,y,z) = k\), där \(k\) är någon konstant. Då är gradientvektorn \[\text{grad}\,f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\] en normalvektor till ytan, i varje punkt på ytan, förutsatt att \(\text{grad}\,f\) inte är nollvektorn.
Sats 2: Låt en kurva i planet ges av \(f(x,y) = k\), där \(k\) är någon konstant. Då är gradientvektorn \[\text{grad}\,f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\] en normalvektor till kurvan, i varje punkt på kurvan, förutsatt att \(\text{grad}\,f\) inte är nollvektorn.
Tam Vu
för 6 år sedan