Definition: Antag att vi har en funktionsyta \(\mathcal{Y}\) som ges av ekvationen \(z=f(x,y)\). En nivåkurva till ytan \(\mathcal{Y}\) är en kurva ritad i \(xy\)-planet som ges av ekvationen \[f(x,y) = k\] där \(k\) är någon konstant.
Anmärkning: Konstanten \(k\) kan lite informellt tolkas som den höjd vid vilken vi skär ytan \(\mathcal{Y}\) med ett plan \(\mathcal{P}\) parallellt med \(xy\)-planet. Projicerar vi skärningskurvan mellan ytan \(\mathcal{Y}\) och planet \(\mathcal{P}\) i \(xy\)-planet, får vi precis nivåkurvan \(f(x,y)=k\).
Definition: Vi kan analogt definiera en nivåyta som en yta som ges av \[f(x,y,z) = c\] där \(c\) är någon konstant.
För en mängd \(\mathcal{S}\) i rummet \(\mathbb{R}^{n}\) har vi följande begrepp.
inre punkt: En punkt \(\boldsymbol{\alpha}\) i \(\mathbb{R}^{n}\) sägs vara en inre punkt till \(\mathcal{S}\) om det finns en omgivning kring \(\boldsymbol{\alpha}\) som ligger helt i \(\mathcal{S}\). Mängden av alla inre punkter till \(\mathcal{S}\) kallas det inre av \(\mathcal{S}\).
yttre punkt: En punkt \(\boldsymbol{\beta}\) i \(\mathbb{R}^{n}\) sägs vara en yttre punkt till \(\mathcal{S}\) om det finns en omgivning kring \(\boldsymbol{\beta}\) som ligger helt utanför \(\mathcal{S}\).
randpunkt: En punkt \(\boldsymbol{\omega}\) i \(\mathbb{R}^{n}\) sägs vara en randpunkt till \(\mathcal{S}\) om \(\boldsymbol{\omega}\) varken är en inre punkt eller en yttre punkt till \(\mathcal{S}\). Med andra ord innehåller varje omgivning kring \(\boldsymbol{\omega}\) både punkter som tillhör \(\mathcal{S}\) och punkter som inte tillhör \(\mathcal{S}\).
sluten mängd: Mängden \(\mathcal{S}\) sägs vara sluten om alla randpunkter till \(\mathcal{S}\) tillhör \(\mathcal{S}\).
öppen mängd: Mängden \(\mathcal{S}\) sägs vara öppen om ingen randpunkt till \(\mathcal{S}\) tillhör \(\mathcal{S}\).
varken sluten eller öppen mängd: Mängden \(\mathcal{S}\) är varken sluten eller öppen om några, men inte alla, randpunkter till \(\mathcal{S}\) tillhör \(\mathcal{S}\).
både sluten och öppen mängd: De enda mängderna som kan vara både slutna och öppna är därför \(\varnothing\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^{2}\), \(\mathbb{R}^{3}\), …
begränsad mängd: Mängden \(\mathcal{S}\) sägs vara begränsad om det största avståndet mellan punkterna i \(\mathcal{S}\) är ändlig.
kompakt mängd: Mängden \(\mathcal{S}\) sägs vara kompakt om den är både sluten och begränsad.
Anmärkning: Ordet ”sluten” i begreppen ”sluten kurva” och ”sluten yta” (exempelvis vid tillämpning av Greens formel respektive Gauß divergenssats) innebär inte detsamma som ordet ”sluten” i begreppet ”sluten mängd”.
En kurva sägs vara sluten om kurvans startpunkt sammanfaller med kurvans slutpunkt. Några slutna kurvor i planet är ellips, kardioid och randen till ett parallelltrapets. En yta sägs vara sluten om den innesluter en kropp. Några slutna ytor i rummet är sfär, torus och randen till ett rätblock.
Tam Vu
för 6 år sedan