Sats 1: Låt en yta i rummet ges av \(f(x,y,z) = k\), där \(k\) är någon konstant. Då är gradientvektorn \[\text{grad}\,f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\] en normalvektor till ytan, i varje punkt på ytan, förutsatt att \(\text{grad}\,f\) inte är nollvektorn.
Sats 2: Låt en kurva i planet ges av \(f(x,y) = k\), där \(k\) är någon konstant. Då är gradientvektorn \[\text{grad}\,f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\] en normalvektor till kurvan, i varje punkt på kurvan, förutsatt att \(\text{grad}\,f\) inte är nollvektorn.
Problem: Låt ytan \(\mathcal{Y}\) i rummet ges av ekvationen \[f(x,y,z) = k\] där \(k\) är en given konstant. Vi vill bestämma en ekvation för det plan som tangerar \(\mathcal{Y}\) i punkten \((x,y,z)=(a,b,c)\) som ligger på \(\mathcal{Y}\).
Steg 1: En normalvektor till ytan \(\mathcal{Y}\) ges av gradientvektorn \[\mathbf{n} = \text{grad}\,f(a,b,c)=(A,B,C)\] så länge \(\mathbf{n} \neq \mathbf{0}\).
Steg 2: Med hjälp av linjär algebra vet vi att en ekvation till tangentplanet ifråga är \[A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0\] vilken kan förenklas efter egen smak.
Anmärkning: Om ytan \(\mathcal{Y}\) är en funktionsyta som ges av ekvationen \[z=f(x,y)\] kan vi även få en ekvation till det sökta tangentplanet enligt \[z=f(a,b)+f_x (a,b)\,(x-a)+f_y (a,b)\,(y-b)\]
Tam Vu
för 6 år sedan