Anvisning: Missa inte fliken Appendix som innehåller ett gäng klassiska enkelintegraler som ofta dyker upp som en del av en multipelintegral. Titta igenom gamla tentamina så förstår du hur pass viktigt det är att kunna dessa integraler för några delpoäng här och där.

Gauß divergenssats

Sats: Låt \(\mathcal{K}\) vara en kompakt kropp i rummet som omsluts av en styckvis slät, sluten randyta \(\mathcal{Y}\) vars vektoriella ytelement \(d\mathbf{S}\) är utåtriktat.

Låt \(\mathbf{F}(x,y,z)\) vara ett vektorfält som är kontinuerligt deriverbart i ett område som innehåller \(\mathcal{K}\).

Då gäller \[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint \limits_{\mathcal{Y}} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{S} =\iiint \limits_{\mathcal{K}} \text{div} \, \mathbf{F} \, dx \, dy \, dz\]

Anmärkning: 1. Satsen är uppkallad efter den tyske matematikern Carl Friedrich Gauß (1777–1855).

2. Om det vektoriella ytelementet \(d\mathbf{S}\) till randytan \(\mathcal{Y}\) är inåtriktat är det bara att ändra tecknet hos trippelintegralen: \[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint \limits_{\mathcal{Y}} \mathbf{F} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} d\mathbf{S} = -\iiint \limits_{\mathcal{K}} \text{div} \, \mathbf{F} \, dx \, dy \, dz\] 3. Ifall ytan \(\mathcal{Y}\) inte är sluten krävs en omskrivning om vi vill kunna använda satsen. Om vi på något enkelt sätt kan försluta \(\mathcal{Y}\) med ett lock \(\mathcal{L}\), är unionen \(\mathcal{Y} \, \cup \, \mathcal{L}\) en sluten yta och satsen blir tillämpbar enligt \[\iint \limits_{\mathcal{Y}} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{S} = {\large\bigcirc}\kern-1.95em\iint \limits_{\mathcal{Y} \, \cup \, \mathcal{L}} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{S} - \iint \limits_{\mathcal{L}} \mathbf{F} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} d\mathbf{S} = \iiint \limits_{\mathcal{K}} \text{div} \, \mathbf{F} \, dx \, dy \, dz - \iint \limits_{\mathcal{L}} \mathbf{F} \boldsymbol{\boldsymbol{\cdot}} d\mathbf{S}\] förutsatt att \(d\mathbf{S}\) för ytan \(\mathcal{Y} \, \cup \, \mathcal{L}\) riktar utåt.

Divergensen av ett vektorfält

Definition: Låt \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left ( P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) \right )\) vara ett vektorfält i \(\mathbb{R}^{3}\). Divergensen av \(\mathbf{F}\) betecknas \(\text{div } \mathbf{F}\), alternativt \(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{F}\), och ges av \[\text{div } \mathbf{F}(x,y,z) = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]

Anmärkning: 1. Divergensen av ett vektorfält \(\mathbf{G}(x,y)=\left ( P(x,y),Q(x,y) \right )\) i \(\mathbb{R}^{2}\) ges på samma sätt av \[\text{div } \mathbf{G}(x,y) = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\] 2. Divergensen av ett vektorfält är inte en vektor, utan en skalärvärd funktion.

3. Ett vektorfält vars divergens är \(0\) sägs vara divergensfritt, källfritt eller solenoidalt.

4. Den nedvända triangeln \(\nabla\) symboliserar i detta fall nablaoperatorn \[\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)\]

Gauss divergenssats (sluten yta)

Gauss divergenssats (sluten yta)