Exempel 1: (Övergång till standardgränsvärde)

Beräkna gränsvärdet \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x}\] Lösning: Vid direkt ersättning \(x = 0\) erhålls \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x} = \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}\] som är en obestämd form. För att komma vidare behöver vi skriva om \(\frac{\sin(3x)}{2x}\) så att vi får till några kända gränsvärden. En bra strategi är att införa variabelsubstitutionen \(u = 3x\). Då fås att \(x=\frac{u}{3}\) och att när \(x \to 0\) gäller \(u \to 3 \cdot 0 = 0\). Alltså: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{2\cdot \frac{u}{3}} = \lim_{u \to 0} \frac{3}{2} \frac{\sin u}{u} = \frac{3}{2} \cdot \underbrace{\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}}_{\text{standardgränsvärde}} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}\] (Samma resultat kan erhållas med hjälp av l’Hospitals regel.)

Svar: \(3/2\)

Exempel 2: (Faktorisering och bråkförkortning)

Beräkna gränsvärdet \[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8}\] Lösning: Vid direkt ersättning \(x = 0\) erhålls \[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8} = \frac{2^2 - 4}{2^2 + 2\cdot 2 - 8} = \frac{0}{0}\] som är en obestämd form. Omskrivningar krävs för att komma vidare. Det vore bra om nämnaren inte blev \(0\). Vad kan vi göra då?

Eftersom både täljaren \(x^2 - 4\) och nämnaren \(x^2 + 2x -8\) är polynom som blir \(0\) då \(x = 2\), innebär det att \(x^2 - 4\) och \(x^2 + 2x -8\) är delbara \(x - 2\). (Påminnelse: (Faktorsatsen) Om \(p(x)\) är ett polynom och \(p(a) = 0\), är \(p(x)\) delbart med \(x-a\). Med andra ord kan vi faktorisera \(p(x) = (x-a) \cdot q(x)\), där \(q(x)\) är något polynom.) Med hjälp av polynomdivision eller alternativa tillämpbara genvägar erhålls \[\begin{aligned} & x^2 - 4 = (x+2)(x-2) \\ & x^2 + 2x -8 = (x+4)(x-2)\end{aligned}\] Detta ger nu \[\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-2)} = \{\text{ bråkförkortning }\} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x+4} = \{\text{ direkt ersättning }\} = \frac{2+2}{2+4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\end{aligned}\] Svar: \(2/3\)

Exempel 3: (Bråkförkortning med dominerande term)

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8}\] Lösning: Vid direkt ersättning \(x = \infty\) erhålls \[\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8} = \frac{\infty^2 - 4}{\infty^2 + 2\cdot \infty - 8} = \frac{\infty}{\infty}\] som är en obestämd form. Omskrivningar krävs för att komma vidare. (Kommentar: Egentligen är det matematiskt otillåtet att skriva \(x = \infty\), just för att \(\infty\) inte är ett tal. Det är dock ett enkelt sätt att tänka eller klottra snabbt på kladdpappret som ovan för att inse den obestämda formen \(\frac{\infty}{\infty}\).)

Om vi använder faktoriseringarna som i Exempel 3 får vi \[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-2)} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{x+2}{x+4} = \{\text{ direkt ersättning }\} = \frac{\infty}{\infty}\end{aligned}\] vilket också är en obestämd form. En annan användbar strategi här är att förkorta bråket \(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8}\) med den dominerande termen \(x^2\), dvs. den term som har högst exponent bland alla termer i täljaren och nämnaren: \[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x -8} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2 - 4}{x^2}}{\frac{x^2 + 2x -8}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{8}{x^2}} \\ = \left \{\text{ alla } \frac{4}{x^2}, \frac{2}{x} \text{ och } \frac{8}{x^2} \text{ går mot } 0 \text{ då } x \to \infty \, \right\} = \frac{1-0}{1+0-0} = 1\end{aligned}\] Svar: \(1\)

Exempel 4: (Bråkförlängning med konjugat)

Beräkna gränsvärdet \[\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x} - x\] Lösning: Vid direkt ersättning \(x = \infty\) erhålls \[\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x} - x = \sqrt{\infty} - \infty = \infty - \infty\] vilket är en obestämd form. Vid bestämning av gränsvärden där rotuttryck är involverade, är det en användbar strategi att prova förlänga med konjugatet. Minns från gymnasiet att konjugatet till ett uttryck på formen \(A + B\) är \(A - B\) och att \((A+B)(A-B)=A^2 - B^2\). I detta fall får vi \[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x} - x = \lim_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^2 + x} - x \right ) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x} + x }{\sqrt{x^2 + x} + x } \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + x} + x }{\sqrt{x^2 + x} + x } = \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x^2 + x} \right)^2 - x^2 }{\sqrt{x^2 + x} + x } = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x } \quad (\ast)\end{aligned}\] Nu har vi ett uttryck på bråkform och vi kan förkorta bråket med den dominerande termen \(x\) som vi gjorde i Exempel 3: \[\begin{aligned} (\ast) \quad = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + x} + x}{x} } = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} + 1 } = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + x}{x^2}} +1 } \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} +1 } = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}+1} = \frac{1}{2}\end{aligned}\]

Svar: \(1/2\)

Exempel 5: (Absolutbelopp och ensidiga gränsvärden)

Beräkna gränsvärdet \[\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{|x-2|}\]

Lösning: Minns definitionen för absolutbelopp: \[\begin{aligned} |a| = \begin{cases} a & \text{om } a \geq 0 \\ -a & \text{om } a < 0 \end{cases}\end{aligned}\]

I detta fall gäller \[\begin{aligned} |x-2| = \begin{cases} x-2 & \text{om } x-2 \geq 0 \\ -(x-2) & \text{om } x-2 < 0 \end{cases} = \begin{cases} x-2 & \text{om } x \geq 2 \\ -(x -2) & \text{om } x < 2 \end{cases} \end{aligned}\]

Vi behöver därför betrakta \(\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{|x-2|}\) dels när \(x < 2\) och dels när \(x > 2\). (Eftersom \(x \to 2\) inträffar inte scenarion \(x = 0\).)

Fall 1: När \(x < 2\) och \(x \to 2^-\) fås vänstergränsvärdet \[\lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{|x-2|} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{-(x-2)} = \lim_{x \to 2^-} - \frac{x - 2}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} - 1 = - 1\] Fall 2: När \(x > 2\) och \(x \to 2^+\) fås högergränsvärdet \[\lim_{x \to 2^+} \frac{x - 2}{|x-2|} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x - 2}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x - 2}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} 1 = 1\] Eftersom vänstergränsvärdet och högergränsvärdet i punkten \(x = 2\) inte är lika, existerar inte \(\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{|x-2|}\).

Svar: Gränsvärdet existerar inte.