Linjärkombination

Definition: Givet ett antal vektorer \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\). Ett uttryck på formen \[c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\ldots+c_k\vec{v_k}\] med \(c_1,c_2,\ldots,c_k \in \mathbb{R}\) kallas en linjärkombination av \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\).

Linjärt hölje

Definition: Givet ett antal vektorer \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\). Den mängd \(V\) som består av alla linjärkombinationer av \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\) kallas det linjära höljet (på engelska: span) av \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\).

Med notationer skriver vi \[V = \operatorname{span}{\{\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\}}\]

Språkbruk: Om \(V = \operatorname{span}{\{\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\}}\) kan vi också säga att vektorerna \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\) spänner upp vektorrummet \(V\).

Att en vektor \(\vec{v}\) ligger i \(V\) innebär definitionsmässigt att \(\vec{v}\) kan skrivas som en linjärkombination av \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\), dvs. det finns reella tal \(c_1,c_2,\ldots,c_k\) sådana att \[\vec{v} = c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\ldots+c_k\vec{v_k}\]

Linjärt beroende och linjärt oberoende

För enkelhetens skull kan vi börja med ett bakgrundsexempel. Tag tre vektorer \(\vec{u}=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]\), \(\vec{v}=\left[\begin{matrix} 0 \\ -2 \end{matrix}\right]\) och \(\vec{w}=\left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right]\). Notera att vi bland annat kan skriva \(\vec{v}\) som en linjärkombination av \(\vec{v}\) och \(\vec{w}\), exempelvis enligt \(\vec{v}=2\vec{u}-\vec{w}\).

Ekvivalent kan vi skriva \(-2\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}\), eller \(-6\vec{u}+3\vec{v}+3\vec{w}=\vec{0}\), eller varför inte \(2\vec{u}-\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}\) och så vidare. Ekvationssystemet \[c_1\vec{u}+c_2\vec{v}+c_3\vec{w}=\vec{0}\] har alltså oändligt många lösningar \(c_1,c_2,c_3\) och vi säger att vektorerna \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) och \(\vec{w}\) är linjärt beroende.

Definition 1: Vektorerna \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\) sägs vara linjärt beroende om minst en av dessa kan skrivas som en linjärkombination av de andra.

Algebraiskt innebär detta att ekvationssystemet \[c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\ldots+c_k\vec{v_k}=\vec{0}\] har oändligt många lösningar \(c_1,c_2,\cdots,c_k\).

Definition 2: Vektorerna \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\) sägs vara linjärt oberoende om ingen av dessa kan skrivas som en linjärkombination av de andra.

Algebraiskt innebär detta att ekvationssystemet \[c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\ldots+c_k\vec{v_k}=\vec{0}\] endast har den triviala lösningen \(c_1=c_2=\ldots=c_k=0\).

(Om en mängd vektorer inte är linjärt beroende, är de linjärt oberoende.)