Exempel: Betrakta ekvationen

\[\frac{dy}{dt} = \left( y^{2} - 9 \right)\left( y + 1 \right)^{2}\]

där \(y = y\left( t \right)\).

Bestäm och klassificera ekvationens kritiska punkter med avseende på stabilitet (stabil, instabil eller semistabil).

Lösning: Observera att uppgiften inte handlar om att lösa ekvationen.

STEG 1: Ekvationens kritiska punkter är lösningar till ekvationen

\[\frac{dy}{dt} = 0 \Leftrightarrow \left( y^{2} - 9 \right)\left( y + 1 \right)^{2} = 0\]

\[\Leftrightarrow \left( y + 3 \right)\left( y - 3 \right)\left( y + 1 \right)^{2} = 0\]

Tydligen har ekvationen de tre kritiska punkterna \(y = - 3\), \(y = - 1\) och \(y = 3\).

STEG 2: Skissera ett diagram exempelvis med hjälp av en teckentabell. Om vi till exempel väljer testpunkterna \(y = - 4\), \(y = - 2\), \(y = 0\) och \(y = 4\) får vi

\[y'\left( - 4 \right) = \left( \left( - 4 \right)^{2} - 9 \right)\left( - 4 + 1 \right)^{2} = 63 > 0\]

\[y'\left( - 2 \right) = \left( \left( - 2 \right)^{2} - 9 \right)\left( - 2 + 1 \right)^{2} = - 5 < 0\]

\[y'\left( 0 \right) = \left( 0^{2} - 9 \right)\left( 0 + 1 \right)^{2} = - 9 < 0\]

\[y'\left( 4 \right) = \left( 4^{2} - 9 \right)\left( 4 + 1 \right)^{2} = 175 > 0\]

Dessa resultat kan representeras med teckentabellen

Strängt växande lösningar återfinns där derivatan är positiv, strängt avtagande lösningar där derivatan är negativ, och konstanta lösningar där derivatan är konstant \(0\).

Se nedan för ett riktningsfält och motsvarande fasporträtt.

Figur: Riktningsfältet kan ritas i ett \(\text{ty}\)-plan med några representativa lösningar. De röda linjerna markerar där de kritiska punkterna, dvs. jämviktslösningarna, återfinns. De blå pilarna visar riktningen hos de övriga lösningarna.

Det motsvarande fasporträttet kan ritas som nedan:

STEG 3: Läs av diagrammen och klassificera de kritiska punkterna. Vi kan se att

\(y = - 3\) attraherar alla lösningar i sin omgivning och är en stabil kritisk punkt

\(y = - 1\) attraherar en del lösningar (ovanför) och samtidigt repellerar en del lösningar (nedanför) i sin omgivning och är en semistabil kritisk punkt

\(y = 3\) repellerar alla lösningar i sin omgivning och är en instabil kritisk punkt

Svar: Se STEG 3 ovan.