Problem: Givet en autonom differentialekvation av första ordning på standardformen
\[\frac{dy}{dt} = g\left( y \right)\]
där \(y = y\left( t \right)\) och högerledet \(g\left( y \right)\) inte beror explicit av \(t\).
Bestäm och klassificera ekvationens kritiska punkter med avseende på stabilitet (stabil, instabil eller semistabil).
Observera att uppgiften inte handlar om att lösa ekvationen.
STEG 1: Ekvationens kritiska punkter är lösningar till ekvationen
\[\frac{dy}{dt} = 0\]
Detta är ekvivalent med \(g\left( y \right) = 0\) och oftast enkelt att hantera.
Anmärkning: Ett annat namn för ”kritiska punkter” i detta fall är ”jämviktslösningar” (på engelska: equilibrium solutions).
STEG 2: Skissera ett enkelt diagram (riktningsfält eller fasporträtt), exempelvis med hjälp av en teckentabell, som översiktligt illustrerar beteenden hos olika familjer av lösningskurvor.
Viktig regel för skissering av riktningsfält: Om \(g\left( y \right)\) och \(g'(y)\) är kontinuerliga i hela planet, kommer det inte att finnas några lösningskurvor som skär varandra. (Detta är en följd av entydighetssatsen.)
STEG 3: Läs av diagrammet för att klassificera de funna kritiska punkterna.
Om alla lösningskurvor kring en kritisk punkt \(y = y_{0}\) går mot \(y_{0}\) då \(t \rightarrow \infty\), sägs \(y_{0}\) vara en (asymptotiskt) stabil kritisk punkt. Vi kan även säga att \(y_{0}\) är en attraktor.
Om alla lösningskurvor kring en kritisk punkt \(y = y_{0}\) går ifrån \(y_{0}\) då \(t \rightarrow \infty\), sägs \(y_{0}\) vara en instabil kritisk punkt. Vi kan även säga att \(y_{0}\) är en repeller.
Om några, men inte alla, lösningskurvor kring en kritisk punkt \(y = y_{0}\) går mot \(y_{0}\) då \(t \rightarrow \infty\), sägs \(y_{0}\) vara en semistabil kritisk punkt.
Tam Vu
för 6 år sedan
