Exempel 1: Bestäm alla lösningar till ekvationen

\[y' + \frac{1}{t}y = ty^{2}\]

där \(y = y\left( t \right)\) och \(t > 0\).

Lösning: Vi känner igen en Bernoulliekvation med \(n = 2\).

Steg 1: Använd variabelsubstitutionen

\[u\left( t \right) = \left( y\left( t \right) \right)^{1 - n} = \left( y\left( t \right) \right)^{1 - 2} = \frac{1}{y\left( t \right)}\]

Detta innebär att

\[y = \frac{1}{u}\]

\[\Rightarrow y' = \frac{dy}{dt} = \left\{ \ \text{kedjeregeln}\ \right\} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dt} = - \frac{1}{u^{2}}u'\]

Steg 2: Insättning de av ovanstående uttrycken för \(y\) och \(y'\) i den givna ekvationen ger

\[y' + \frac{1}{t}y = ty^{2}\]

\[\Rightarrow - \frac{1}{u^{2}}u' + \frac{1}{t}\frac{1}{u} = t\frac{1}{u^{2}}\]

\[\Rightarrow u' - \frac{1}{t}u = - t\]

Steg 3: Detta är tydligen en linjär ekvation av första ordning som vi exempelvis kan lösa med hjälp av en integrerande faktor

\[\mu\left( x \right) = e^{\int_{}^{}{- 1/t\ dt}} = e^{- \ln t} = e^{\ln{(t^{- 1})}} = t^{- 1} = \frac{1}{t}\]

Multiplicera båda led av ekvationen \(u' - tu = - t\) med \(\mu\left( x \right) = 1/t\) och vi får

\[\frac{1}{t}u' - \frac{1}{t}\frac{1}{t}u = - t\frac{1}{t}\ \]

\[\Rightarrow \frac{1}{t}u' - \frac{1}{t^{2}}u = - 1\]

\[\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{t}u \right) = - 1\]

Integrera nu båda led med avseende på \(t\) och vi får

\[\int_{}^{}{\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{t}u \right)\ dt} = \int_{}^{}{- 1\ dt}\]

\[\Rightarrow \frac{1}{t}u = - t + C\]

\[\Rightarrow u\left( t \right) = - t^{2} + Ct\]

där \(C\) är en godtycklig konstant.

Steg 4: Nu kan vi äntligen bestämma \(y\left( t \right)\) som söks:

\[y = \frac{1}{u} \Rightarrow y\left( t \right) = \frac{1}{- t^{2} + Ct}\]

Svar: Ekvationen har den allmänna lösningen

\[y\left( t \right) = \frac{1}{- t^{2} + Ct}\]

där \(C\) är en godtycklig konstant.

---

Exempel 2: Bestäm alla lösningar till ekvationen

\[y' = \frac{y^{2} + xy + x^{2}}{x^{2}}\]

där \(y = y\left( x \right)\) och \(x > 0\) genom att införa variabelsubstitutionen

\[u\left( x \right) = \frac{y\left( x \right)}{x}\]

Lösning: Det brukar vara uppmuntrande att följa ledtråden i uppgiftslydelsen.

Steg 1: Variabelsubstitutionen

\[u\left( x \right) = \frac{y\left( x \right)}{x}\]

innebär att

\[y = xu\]

\[\Rightarrow y' = \frac{dy}{dx} = \left\{ \ \text{produktregeln}\ \right\} = u + xu'\]

Steg 2: Insättning de av ovanstående uttrycken för \(y\) och \(y'\) i den givna ekvationen ger

\[y' = \frac{y^{2} + xy + x^{2}}{x^{2}}\]

\[\Rightarrow u + xu' = \frac{x^{2}u^{2} + x^{2}u + x^{2}}{x^{2}}\]

\[\Rightarrow u + xu' = u^{2} + u + 1\]

\[\Rightarrow xu' = u^{2} + 1\]

\[\Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{u^{2} + 1}{x}\]

vilken är en separabel ekvation av första ordning.

Steg 3: Ekvationen kan separeras enligt

\[\frac{1}{u^{2} + 1}du = \frac{1}{x}dx\]

\[\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{u^{2} + 1}du} = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx}\]

\[\Rightarrow \arctan u = \ln x + C\]

\[\Rightarrow u\left( x \right) = \tan\left( \ln x + C \right)\]

där \(C\) är en godtycklig konstant.

Steg 4: Nu kan vi äntligen bestämma \(y\left( x \right)\) som söks:

\[y = xu \Rightarrow y\left( x \right) = x\tan\left( \ln x + C \right)\]

Svar: Ekvationen har den allmänna lösningen

\[y\left( x \right) = x\tan\left( \ln x + C \right)\]

där \(C\) är en godtycklig konstant.

---

Exempel 3: Visa att variabelsubstitutionen \(u\left( x \right) = y\left( x \right) - x\) överför ekvationen

\[y' = \left( y - x \right)^{2} + 1\]

där \(y = y\left( x \right)\) till en Bernoulliekvation. Lös sedan den ursprungliga ekvationen.

Anmärkning: Den givna ekvationen är en Riccatiekvation, uppkallad efter den italienske matematikern Jacopo Riccati (1676–1754). En känd typ av Riccatiekvation kan generellt skrivas

\[y' = p\left( x \right) + q\left( x \right)\ y + r\left( x \right)\ y^{2}\]

Lösning: Vi börjar med att överföra den givna ekvationen till en Bernoulliekvation.

Steg 1: Variabelsubstitutionen \(u\left( x \right) = y\left( x \right) - x\) innebär att

\[y = u + x\]

\[\Rightarrow y' = u' + 1\]

Insättning de av ovanstående uttrycken för \(y\) och \(y'\) i den givna ekvationen ger

\[y' = \left( y - x \right)^{2} + 1\]

\[\Rightarrow u' + 1 = u^{2} + 1\]

\[\Rightarrow u' = u^{2}\]

vilken är en Bernoulliekvation på formen \(u' + p\left( x \right)\ u = q\left( x \right)\ u^{n}\), där \(n = 2\).

Steg 2: Lösningen till den ursprungliga ekvationen kan bestämmas genom att först bestämma \(u = u\left( x \right)\) i ekvationen \(u' = u^{2}\), sedan återsubstituera \(y = u + x\).

Bernoulliekvationen \(u' = u^{2}\) kan lösas med standardmetoden, nämligen att substituera \(z\left( x \right) = 1/u\left( x \right)\).

Ett ännu enklare sätt är att notera att \(u' = u^{2}\) också är en separabel ekvation:

\[u' = u^{2} \Rightarrow \frac{du}{dx} = u^{2} \Rightarrow \frac{1}{u^{2}}du = dx\]

Integrera båda led och vi får

\[\int_{}^{}{\frac{1}{u^{2}}du} = \int_{}^{}\ dx\]

\[\Rightarrow - \frac{1}{u} = x + C\]

\[\Rightarrow u\left( x \right) = - \frac{1}{x + C}\]

där \(C\) är en godtycklig konstant.

Steg 3: Den ursprungliga ekvationen har alltså lösningen

\[y\left( x \right) = u\left( x \right) + x = - \frac{1}{x + C} + x = x + \frac{1}{K - x}\]

där \(K = - C\) är en godtycklig konstant.

Svar: Ekvationen \(y' = \left( y - x \right)^{2} + 1\) har lösningen

\[y\left( x \right) = x + \frac{1}{K - x}\]

där \(K = - C\) är en godtycklig konstant.