En del differentialekvationer kan vara väldigt svåra att lösa eftersom de varken är separabla eller linjära. En användbar strategi är då att använda någon smart variabelsubstitution för att överföra den svåra ekvationen till en lättare ekvation, exempelvis en separabel eller linjär sådan, som vi kan lösa med kända procedurer.
Bernoulliekvationer är inom kursens ram en populär familj differentialekvationer som kan lösas med hjälp av variabelsubstitution.
Problem: Lös differentialekvationen
\[y' + p\left( x \right)\ y = q\left( x \right)\ y^{n}\]
där \(y = y\left( x \right)\) och \(n\) är något reellt tal. En sådan ekvation kallas en Bernoulliekvation, efter den schweiziske matematikern Jakob Bernoulli (1655–1705).
Notera att om \(n = 0\) eller \(n = 1\ \)är ekvationen linjär och kan lösas med hjälp av exempelvis en integrerande faktor \(\mu\left( x \right) = e^{\int_{}^{}{p\left( x \right)\ dx}}\). Se gärna genomgången för Linjär ODE av \(1\):a ordning.
Om \(n \neq 0\) och \(n \neq 1\) är följande strategi användbar.
Strategi: Inför variabelsubstitutionen
\[u\left( x \right) = \left( y\left( x \right) \right)^{1 - n}\]
och manipulera den givna ekvationen
\[y' + p\left( x \right)\ y = q\left( x \right)\ y^{n}\]
till en enklare linjär ekvation av första ordning, vilken kan lösas med hjälp av exempelvis en integrerande faktor. Se genomgången för Linjär ODE av \(1\):a ordning.
Tam Vu
för 6 år sedan