Exempel: Lös differentialekvationen

\[ty' + 3y = t^{2}\]

där \(y = y\left( t \right)\) och \(t > 0\).

Lösning: Det är smart att vi, innan vi gör allt annat, skriver ekvationen på standardform genom att dividera båda led med \(t\):

\[y' + \frac{3}{t}y = t\]

STEG 1: Bestäm en integrerande faktor

\[\mu\left( x \right) = e^{\int_{}^{}{\frac{3}{t}dt}} = e^{3\int_{}^{}{\frac{1}{t}dt}} = e^{3\ln\left| t \right|} = e^{3\ln t}\ ,\ \text{ty}\ t > 0\]

Notera att vi med hjälp av gymnasiematematik kan göra förenklingen

\[\mu\left( x \right) = e^{\ln t^{3}} = t^{3}\]

STEG 2: Multiplicera båda led av ekvationen med \(\mu\left( x \right) = t^{3}\):

\[y' + \frac{3}{t}y = t\]

\[\Rightarrow t^{3}y' + t^{3}\frac{3}{t}y = t^{3}t\]

\[\Rightarrow t^{3}y' + 3t^{2}y = t^{4}\]

Tänk produktregeln baklänges och vi får

\[\frac{d}{dt}\left( t^{3}y \right) = t^{4}\]

(Prova derivera \(t^{3}y = t^{3}y\left( t \right)\) med hjälp av produktregeln så förstår du på en gång varför detta måste stämma.)

Integrera nu båda led med avseende på \(t\) och vi får

\[\int_{}^{}{\frac{d}{dt}\left( t^{3}y \right)dt} = \int_{}^{}{t^{4}\ dt}\]

STEG 3: Nu är det bara att förenkla:

\[\int_{}^{}{\frac{d}{dt}\left( t^{3}y \right)dt} = \int_{}^{}{t^{4}\ dt}\]

\[\Rightarrow t^{3}y = \frac{1}{5}t^{5} + C\]

\[\Rightarrow y = \frac{1}{t^{3}}\left( \frac{1}{5}t^{5} + C \right)\]

\[\Rightarrow y\left( t \right) = \frac{1}{5}t^{2} + \frac{C}{t^{3}}\]

Svar: Ekvationen har den allmänna lösningen

\[y\left( t \right) = \frac{1}{5}t^{2} + \frac{C}{t^{3}}\]

där \(C\) är en godtycklig konstant.