Problem: Lös den linjära ordinära differentialekvationen av första ordning
\[a\left( x \right)\ y' + b\left( x \right)\ y = c\left( x \right)\]
där \(y = y(x)\) och \(a(x) \neq 0\).
STEG 0: Skriv ekvationen på standardform genom att dividera båda led med \(a(x)\):
\[y' + \frac{b\left( x \right)}{a\left( x \right)}\ y = \frac{c\left( x \right)}{a\left( x \right)}\]
vilken kan betraktas som
\[y' + p(x)\ y = q(x)\]
STEG 1: Bestäm en integrerande faktor
\[\mu\left( x \right) = e^{\int_{}^{}{p\left( x \right)\ dx}}\]
I detta sammanhang avser \(\int_{}^{}{p\left( x \right)dx}\) en primitiv funktion till \(p(x)\). Det räcker med att ha en primitiv funktion till \(p(x)\) i exponenten.
STEG 2: Multiplicera båda led av ekvationen \(y' + p(x)\ y = q(x)\) med \(\mu\left( x \right)\):
\[y' + p\left( x \right)y = q\left( x \right)\]
\[\Rightarrow \mu\left( x \right)\ y' + \mu\left( x \right)p\left( x \right)y = \mu\left( x \right)\ q(x)\]
Om vi har gjort rätt borde vänsterledet alltid vara lika med
\[\frac{d}{dx}\left( \mu\left( x \right)y \right)\]
enligt produktregeln, dvs.
\[\frac{d}{dx}\left( \mu\left( x \right)y \right) = \mu\left( x \right)\ q(x)\]
STEG 3: Integrera nu båda led med avseende på \(x\) och vi får
\[\int_{}^{}{\frac{d}{dx}\left( \mu\left( x \right)y \right)}\ dx = \int_{}^{}{\mu\left( x \right)\ q(x)}\ dx\]
\[\Rightarrow \mu\left( x \right)\ y = \int_{}^{}{\mu\left( x \right)\ q(x)}\ dx\]
\[\Rightarrow \ y = \frac{1}{\mu\left( x \right)}\int_{}^{}{\mu\left( x \right)\ q(x)}\ dx\]
Beräkna integralen i högerledet, förenkla om möjligt och vi får \(y = y(x)\) som söks.
Tam Vu
för 6 år sedan
