Exempel: a) Lös allmänt den separabla differentialekvationen

\[\frac{dy}{dx} = xy - 2x\]

b) Bestäm den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret \(y\left( 0 \right) = 5\).

Lösning: a) STEG 0: Skriv ekvationen på standardformen

\[\frac{dy}{dx} = g\left( x \right) h\left( y \right)\]

genom att faktorisera högerledet:

\[\frac{dy}{dx} = x\left( y - 2 \right)\]

STEG 1: Separera variablerna:

\[\frac{1}{y - 2}dy = x\ dx\]

STEG 2: Integrera varje led med avseende på respektive variabel:

\[\int_{}^{}{\frac{1}{y - 2}dy} = \int_{}^{}x\ dx\]

\[\Rightarrow \ln\left| y - 2 \right| = \frac{1}{2}x^{2} + C\]

där \(C\) är en godtycklig konstant.

STEG 3: Lös ut \(y\) som en funktion av \(x\):

\[\ln\left| y - 2 \right| = \frac{1}{2}x^{2} + C\]

\[\Rightarrow e^{\ln\left| y - 2 \right|} = e^{\frac{1}{2}x^{2} + C}\]

\[\Rightarrow \left| y - 2 \right| = e^{\frac{1}{2}x^{2}}e^{C}\]

\[\Rightarrow y - 2 = \pm \ e^{\frac{1}{2}x^{2}}e^{C}\]

(döp om \(\pm e^{C} = K\), också godtycklig)

\[\Rightarrow y - 2 = Ke^{\frac{1}{2}x^{2}}\]

\[\Rightarrow y\left( x \right) = Ke^{\frac{1}{2}x^{2}} + 2\]

Svar: Ekvationen har den allmänna lösningen

\[y\left( x \right) = Ke^{x^{2}/2} + 2\]

där \(K\) är en godtycklig konstant.

b) Begynnelsevillkoret \(y\left( 0 \right) = 5\) tillämpat på

\[y\left( x \right) = Ke^{x^{2}/2} + 2\]

ger

\[K + 2 = 5 \Leftrightarrow K = 3\]

Svar: Den sökta lösningen är

\[y\left( x \right) = 3e^{x^{2}/2} + 2\]

Anmärkning: Samma svar kan fås med hjälp av följande kommando på WolframAlpha:

dy/dx = xy - 2x where y(0) = 5