Exempel 1: Beräkna följande determinanter genom att kofaktorutveckla längs en rad eller en kolonn av ditt eget val:

a) \(\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \\ 5 & - 2 & 1 \\ 1 & 4 & - 3 \\ \end{matrix} \right|\)

b) \(\left| \begin{matrix} - 4 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right|\)

c) \(\left| \begin{matrix} 3 & 0 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 0 & 6 & - 3 \\ 5 & 0 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \right|\)

Lösning:

a) \(\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \\ 5 & - 2 & 1 \\ 1 & 4 & - 3 \\ \end{matrix} \right| = \left\{ \ \text{kofaktorutveckling längs rad 1}\ \right\} = 2\left| \begin{matrix} - 2 & 1 \\ 4 & - 3 \\ \end{matrix} \right| - 1\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & - 3 \\ \end{matrix} \right| + 2\left| \begin{matrix} 5 & - 2 \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right|\)

\[\ \ \ \ \ = 2 \cdot \left( 6 - 4 \right) - 1 \cdot \left( - 15 - 1 \right) + 2 \cdot \left( 20 - \left( - 2 \right) \right) = 4 + 16 + 44 = 64\]

Vi kan dubbelkolla om \(64\) kan stämma genom att prova kofaktorutveckla längs en annan rad eller en annan kolonn, säg rad \(2\):

\[\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \\ 5 & - 2 & 1 \\ 1 & 4 & - 3 \\ \end{matrix} \right| = \left\{ \ \text{observera tecken}\ \right\} = - 5\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & - 3 \\ \end{matrix} \right| + \left( - 2 \right)\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & - 3 \\ \end{matrix} \right| - 1\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right|\]

\[\ = - 5 \cdot \left( - 3 - 8 \right) - 2 \cdot \left( - 6 - 2 \right) - 1 \cdot \left( 8 - 1 \right) = 55 + 16 - 7 = 64\]

Det stämmer!

Svar: \(64\)

b) Här är det smart att kofaktorutveckla längs en rad eller en kolonn med så många nollor som möjligt, säg kolonn \(1\):

\[\left| \begin{matrix} - 4 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right| = - 4\left| \begin{matrix} 3 & 6 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right| - 0\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right| + 0\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 6 \\ \end{matrix} \right| = - 4\left| \begin{matrix} 3 & 6 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right| = - 4(3\cdot 2 - 6 \cdot 0) = - 24\]

Annars kan vi direkt notera att matrisen \(\begin{bmatrix} - 4 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\) är triangulär, varför dess determinant är precis produkten av huvuddiagonalelementen, nämligen \(- 4 \cdot 3 \cdot 2 = - 24\).

Svar: \(- 24\)

c) Här är det smart att kofaktorutveckla längs en rad eller en kolonn med så många nollor som möjligt, säg kolonn \(2\):

\[\left| \begin{matrix} 3 & 0 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 0 & 6 & - 3 \\ 5 & 0 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \right| = 2\left| \begin{matrix} 3 & 2 & - 1 \\ 4 & 6 & - 3 \\ 5 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \right|\]

Den mindre determinanten kan beräknas genom att kofaktorutveckla längs rad \(3\):

\[\left| \begin{matrix} 3 & 2 & - 1 \\ 4 & 6 & - 3 \\ 5 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \right| = 5\left| \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 6 & - 3 \\ \end{matrix} \right| + \left( - 2 \right)\left| \begin{matrix} 3 & - 1 \\ 4 & - 3 \\ \end{matrix} \right| = 5 \cdot \left( - 6 - \left( - 6 \right) \right) - 2\left( - 9 - \left( - 4 \right) \right) = 10\]

Den sökta determinanten är således \(2 \cdot 10 = 20\).

Svar: \(20\)

Exempel 2: För att beräkna determinanten av matrisen \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ \end{bmatrix}\) kan det vara enklare att använda lämpliga radoperationer (än att endast kofaktorutveckla). Beräkna \(\det A\).

Anmärkning: Detta är uppgift 1(d) från tentamen 2013-10-28, kurs SF1624, KTH.

Lösning: Vi försöker radoperera tills en trevlig matris uppstår. En sådan matris kan vara en matris med en nollrad (vars determinant är \(0\)) eller en triangulär matris (vars determinant är produkten av huvuddiagonalelementen).

\[\left| \begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} R_{1} \\ R_{2} + R_{1}\ \\ R_{3} - R_{1} \\ R_{4} - R_{1}\ \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} R_{1} \\ R_{2}\ \\ R_{3} + R_{2} \\ R_{4} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right| = 0\]

ty rad \(3\) är en nollrad.

Svar: \(0\)

Viktig erfarenhet: Om raderna i en matris \(A\) är linjärt beroende, gäller att \(\det A = 0\) (ty \(A\) kan radopereras tills en nollrad erhålls). Om raderna däremot är linjärt oberoende, gäller att \(\det A \neq 0\).