Exempel: Från tentamen 2011-03-19 Del 2 #2
Givet en tabell över en funktion \(y = f(x)\), där \(x_i\) - värdena är givna ekvidistant i intervallet [0,1].

Vi vill beräkna en approximation till derivatan i intervallets vänstra ändpunkt, dvs \(f'(0)\).

a. Ange en differensformel med noggrannhetsordningen 1 för beräkning av \(f'(0)\). Beräkna två approximationer till derivatan \(f'(0)\) genom att tillämpa formeln på tabellvärdena för steglängderna \(h\) = 0.25 och \(h\) = 0.5.

Lösning: Vi använder oss av framåtdifferens \[\begin{aligned} y'(x_i) \approx D(h) = \frac{y(x_{i+1}) - y(x_i)}{h}\end{aligned}\] vilket ger \[\begin{aligned} D(0.5) = \frac{y(0.5) - y(0)}{0.5} = \frac{0.46 - 0}{0.5} = 0.92\\ D(0.25) = \frac{y(0.25) - y(0)}{0.25} = \frac{0.24 - 0}{0.25} = 0.96\end{aligned}\]

b. För att få en högre noggrannhetsnordning kan man alternativt använda differensformeln \[\begin{aligned} f'(x) \approx \frac{-f(x + 2h) + 4f(x+h) - 3f(x)}{2h}\end{aligned}\] Använd denna formeln för att beräkna f’(0) med användning av tabellvärdena, för \(h\) = 0.25 och \(h\) = 0.5.

Lösning: Med hjälp av den givna formeln får vi \[\begin{aligned} f'(0) \approx D(0.5) = \frac{-f(1) + 4f(0.5) - 3f(0)}{1} = \frac{-0.87 + 4 \cdot 0.46 - 0}{1} = 0.97\\ f'(0) \approx D(0.25) = \frac{-f(0.5) + 4f(0.25) - 3f(0)}{1} = \frac{-0.46 + 4 \cdot 0.24 - 0}{0.5} = 1 \end{aligned}\]

c. Antag att man vet det exakta svaret: \(f'(0)\) = 1.01. Beräkna trunkeringsfelen för de två approximativa värdena du räknat fram i a). Verifiera att formeln i a) har noggrannhetsordningen \(1\). Gör samma sak för de två approximativa värdena du räknat fram i b) och avgör vilken noggrannhetsordning formeln i b) har.

Lösning:
För a): Trunkeringsfelen för framåtdifferansen i a) blir \(|0.92-1.01| = 0.09\) respektive \(|0.96-1.01| = 0.05\). Felet halveras alltså då \(h\) halveras (från \(0.5\) till \(0.25\)) vilket visar att felet är proportionellt mot \(h\). Noggrannhetsordning är \(1\).

För b): Trunkeringsfelen för formeln i b) blir \(|0.97-1.01| = 0.04\) respektive \(|1-1.01| = 0.01\). Felet minskar med en faktor \(4\) då \(h\) halveras (från \(0.5\) till \(0.25\)) vilket visar att felet är proportionellt mot \(h^2\). Noggrannhetsordning är \(2\).