Några viktiga begrepp att kunna:

• Absolutfel och relativfel är två olika uttryck för ett fel \[\begin{aligned} e_x = x̃ - x \text{ [absolutfel]}\\ r_x = (x̃ - x)/x \text{ [relativfel]} \end{aligned}\]

• Felets exakta värde är oftast inte känt och därför används ofta felgränserna \(E_x\) och \(R_x\) istället där \[\begin{aligned} |e_x| \le E_x \text{ och } |r_x| \le R_x \end{aligned}\]

• Korrekta decimaler \(d\) i \(x̃\): \[\begin{aligned} |x̃-x| \le 0.5 \cdot 10^{-d} \end{aligned}\]

Felfortplantning

Definition: Uträkningar utförda med approximerat indata får också fel i utdata eller resultatet vilket uttrycks som att felet fortplantas. Felet i en funktion \(f\) kan för enkla operationer beräknas enligt

• Addition och subtraktion: \(z = x \pm y \quad : \quad E_z = E_x + E_y\)

• multiplikation och division: \(R_z = R_x + R_y\).

Mer allmänt kan absolutfelet uppskattas med felfortplantningsformeln \[\begin{aligned} E_f \approx |\frac{\partial f}{\partial x_1}|E_{1} + \dots + |\frac{\partial f}{\partial x_n}|E_{n}\end{aligned}\] där \(f = f(x_1,\dots,x_n)\) och \(E_1,\dots,E_n\) är felgränserna för \(x_1,\dots,x_n\).

---

Avrundningsfel

Definition: En dator har inte förmågan att representera tal exakt och beräknar sker med ett ändligt antal siffror vilket kan leda till avrundningsfel.

• Utskiftning: Om ett tal \(a\) subtraheras eller adderas med ett annat tal \(b\) där \(b \gg a\) kan noggrannhetsförlust förekomma då \(a\) potentiellt bortses i uträkning.

• Kancellation: Subtraktion mellan två ungefärligt lika stora tal kan resultera i en förlust av korrekta siffror.

---

Konditionstal

Definition: Konditionstalet \(\kappa\) beskriver hur känsligt ett problem är för störningar i indata där \(\kappa\) beräknas med \[\begin{aligned} \kappa = \frac{R_{o}}{R_{i}}\end{aligned}\] där \(R_o\) och \(R_i\) är relativa felen i utdata respektive indata. För ett linjärt ekvationsystem beräknas \(\kappa\) enligt \[\begin{aligned} \kappa = ||A|| ||A^{-1}||\end{aligned}\] där \(||A||\) är normen av matrisen \(A\). Ett större konditionstal implicerar en större känslighet för störningar i indata hos problemet. Konditionstalet förkommer i formeln \[\begin{aligned} \frac{||d x||}{||x||} \le \kappa \frac{||d b||}{||b||}\end{aligned}\] där \(x\) och \(b\) är utdata respektive indata och som tydligt visar hur konditionstalet är skalfaktorn som styr hur relativa felet i \(b\) påverkar relativa felet i \(x\).