Exempel: Från tentamen 2017-10-27 #1 Del 2
1a. (10p) Bestäm det förstagradspolynom (y = p(x)) som i minstakvadratmening anpassar de tre punkterna med koordinater ((-1,2), (1,3)) och ((3,6)).

Lösning: Vi börjar med att ansätta \[\begin{aligned} y = p(x) = a + bx\end{aligned}\] som vårt förstagradspolynom. Anpassning av polynomet till de givna punkterna ger det överbestämda ekvationssystemet \(A\mathbf{x} = \mathbf{y}\), där \[\begin{aligned} A = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\\ 1 & 3\\ \end{bmatrix} \text{, } \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a\\ b\\ \end{bmatrix} \text{ och } \mathbf{y} = \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 6\\ \end{bmatrix}\end{aligned}\] Minsta-kvadrat lösningen får vi genom att multiplicera ekvationsystemet med \(\mathbf{A^T}\) vilket ger normalekvationen \(A^TA\mathbf{x} = A^T\mathbf{y}\) och med värdena insatta: \[\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\\ 1 & 3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 6\\ \end{bmatrix}\end{gathered}\] vilket efter matrismultiplikation ger \[\begin{aligned} \begin{bmatrix} 3 & 3\\ 3 & 11\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 11\\ 19\\ \end{bmatrix}\end{aligned}\] Lösningen till normalekvationen ges av \(a = 8/3\) och \(b = 1\) vilket medför att svaret i 1a är \(p(x) = 8/3 + x.\)