Flervariabelkalkyl

Lärandemål

Efter genomgången kurs förväntas en student kunna

• analysera reellvärda funktioner av flera reella variabler, allt utifrån begreppen definitionsmängd, värdemängd, graf och sammansättning, samt kunna illustrera någorlunda skisserbara funktionsytor och nivåkurvor
• förklara de topologiska grundbegreppen i Rn, samt utifrån standardgränsvärden och räkneregler kunna bestämma gränsvärden för funktioner. Speciellt ska en funktions kontinuitet kunna avgöras
• bestämma partiella derivator, kunna avgöra differentierbarhet, kunna bestämma differentialer, samt vid variabelbyten kunna tillämpa kedjeregeln för första och andra ordningens derivator och vid implicit derivering
• bestämma och geometriskt tolka gradienter och riktningsderivator, samt utifrån detta i förekommande fall kunna bestämma tangenter och tangentplan
• tillämpa Taylors formel för att avgöra arter hos stationära punkter, och då särskilt i fall med funktioner av två variabler
• kunna bestämma största och minsta värdena för kontinuerliga funktioner på kompakta mängder, samt kunna formulera och lösa optimeringsproblem som innefattar bivillkor
• analysera vektorvärda funktioner av en reell variabel och motsvarande rymdkurvor, dels utifrån kinematiska begrepp som läge, hastighet och acceleration, och dels utifrån geometriska begrepp som tangent, normal, båglängd och krökning. Speciellt ska rymdkurvor kunna parametriseras
• bestämma dubbel- och trippelintegraler utifrån lämpliga iterationer och variabelsubstitutioner
• bestämma och tolka kurv- och ytintegraler. Speciellt ska normalriktningsfält för kurvor i planet och för ytstycken i rummet kunna bestämmas. I fall med konservativa fält ska potentialfunktioner kunna bestämmas och nyttjas för exempelvis byten av vägar i kurvintegraler
• tillämpa Greens, Stokes' och Gauss' satser