Finit elementmetod

Lärandemål

• I kursen behandlas främst lineära och stationära problem, med tillämpningar på fältproblem (t.ex värmeledning, vridning av prismatiska balktvärsnitt, membranböjning, strömning i porösa media, etc), elasticitetsteori och balkböjning.
• Efter avslutad kurs ska studenterna (för varje behandlad problemtyp) kunna:
• Härleda ett variationsproblem som har samma lösning som det ursprungliga randvärdesproblemet, samt från variationsproblemet härleda en FE formulering med testfunktioner enligt Galerkins metod.
• Förklara hur olika typer av randvillkor påverkar variations respektive FE formuleringen, och visa hur olika typer av randvillkor approximeras.
• Visa hur FE approximationen konstrueras då ett problem innehåller en eller flera obekanta funktioner samt visa hur man får tillräckligt många ekvationer för att lösa de obekanta variablerna.
• Härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser och elementlastvektorer utifrån en formell FE formulering samt visa hur dessa kan assembleras till strukturstyvhetsmatriser respektive strukturlaster.
• Härleda uttryck för integrationsvikter och integrationspunkter i gausskvadratur, samt redogöra för noggrannheten i ett integrationsschema med N punkter.
• Beskriva fördelar och risker med s.k reducerad integration.
• Avgöra vad som är lämpligt antal integrationspunkter för en given elementapproximation.
• Härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser vid isoparametriska avbildningar samt ange villkor på elementgeometrier för att avbildningen ska vara möjlig.
• Implementera, i ett givet programmeringsspråk, en funktion som numeriskt integrerar fram elementstyvhetsmatrisen för ett godtyckligt isoparametriskt element och för ett godtyckligt problem.
• Ange vilka krav som ställs på en elementapproximation för att FE approximationen säkert ska konvergera mot lösningen till ett givet randvärdesproblem, samt ange fysikaliska tolkningar till dessa krav; ange vilka av kraven som ovillkorligen måste vara uppfyllda.
• Redogöra för konvergens och konvergenshastighet samt hur konvergenshastigheten påverkas av olika elementapproximationer och av singulariteter i den exakta lösningen.
• Beskriva olika situationer som ger singulariteter och tänka ut hur en FE approximation bör konstrueras med hänsyn till dessa.
• Formulera ett minimeringsproblem som har samma lösning som ett givet randvärdesproblem och visa att minimeringsproblemet har en entydig lösning.
• Bevisa att FEM minimerar den potentiella energin (eller motsvarande kvadratiska funktional, beroende på problemtyp) samt bevisa att en konform FE metod ger högre potentiell energi än den exakta lösningen.
• Bevisa Galerkin ortogonalitet samt att energin i felet är lika med felet i energi.
• Beskriva adaptivitet och då speciellt hur man kan göra en a posteriori feluppskattning samt på vilka sätt en FE diskretisering kan modifieras för att minska felet.
• Ange olika typer av felkällor, samt exemplifiera dessa, då ett fysiskt problem beskrivs med en matematisk modell vars lösning sedan approximeras.
• Beskriva direktlösning av stora glesa ekvationssystem samt utifrån detta redogöra för hur nodnumrering påverkar beräkningstid och nödvändigt lagringsutrymme.
• Beskriva iterativ lösning av stora glesa ekvationssystem samt relatera detta till minimeringsproblemet.
• Producera datorkod som löser vilket som helst av de behandlade problemen med FEM, samt använda programmet för att lösa givna exempel.
• Beskriva strukturen hos en industriell FE-mjukvara.
• Använda en industriell FE-mjukvara för att lösa problem som tas upp i kursen.