Flervariabelanalys och partiella differentialekvationer

Lärandemål

• Redogöra för och tillämpa grundläggande begrepp i analys av funktioner av flera variabler, såsom mängder, följder och konvergens i $R^n$, gränsvärden och olika typer av kontinuitet, samt formulera och använda begreppen derivata, gradient, Jacobi- och Hesse-matris, kedjeregel och Taylors sats för att analysera och approximera sådana funktioner, t.ex. genom linjärisering och numerisk derivata.
• Formulera problem i flera variabler som system av ekvationer och optimeringsproblem, använda gradient och riktningsderivata för att finna stationära punkter, klassificera dessa med hjälp av Hesse-matrisen samt tillämpa Newtons metod och grundläggande metoder för optimering på kompakta mängder och under bivillkor.
• Formulera och beräkna dubbel- och trippelintegraler, använda Fubinis sats för att separera integraler, genomföra variabelsubstitution med Jacobi-determinant (i t.ex. polära, cylindriska och sfäriska koordinater) samt tillämpa dubbel- och trippelintegraler för att bestämma medelvärden, masscentrum, tröghetsmoment och generaliserade integraler.
• Formulera och beräkna kurvintegraler och ytintegraler för skalära fält och vektorfält, använda gradient, rotation och divergens och tillämpa Greens sats, Stokes sats och Gauss sats i enkla situationer, samt analysera konservativa och inkompressibla fält med tolkning i termer av arbete, cirkulation och flöde.
• Formulera och använda grundläggande begrepp för diskretisering och approximation i flera dimensioner, såsom triangulering och tetraedernät, basfunktioner och funktionsrum av styckvis polynom samt barycentriska koordinater, och tillämpa dessa för interpolation, projektion och numerisk integration (kvadratur).
• Formulera grundläggande partiella differentialekvationer med tillhörande rand- och begynnelsevillkor som modeller för stationära och tidsberoende fenomen, redogöra översiktligt för stark och svag formulering samt tillämpa finita elementmetoden för linjära problem, inklusive uppställning av svag form, styvhets- och massmatris, assemblering och användning av enkla tidsstegningsmetoder.
• Implementera och använda numeriska algoritmer i Python för beräkningar inom kursens område samt analysera, tolka och skriftligt kommunicera modellval, beräkningsresultat och begränsningar i tekniska tillämpningar.