Envariabelanalys och analytisk geometri

Lärandemål

Efter genomgången kurs skall studenten på ett självständigt sätt kunna hantera differentialkalkyl av elementära funktion samt analytisk geometri i två och tre dimensioner. Studenten ska kunna lösa små linjära ekvationssystem för hand med Gausselimination och generellt med MATLAB, och även kunna hantera gränssnittet, rita grafer till funktioner, lösa ekvationer med intervallhalvering och Newtons metod.

• Detta innebär att studenten skall kunna:
• Begreppen definitionsmängd och värdemängd.
• Sammansättning av funktioner.
• Vad invers funktion är och när den finns.
• Innebörden av kontinuitet.
• Innebörden av de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner: tex. max/min-saten, satsen om mellanliggande värden.
• Definitionen av gränsvärde.
• Räkneregler för gränsvärden. Du ska också kunna bevisa vissa av dem.
• Instängningsatsen och dess användning.
• Vissa standardgränsvärden, t.ex. limx→0sin(x)/x=1...
• Använda l'Hospitals regel.
• Arcusfunktionernas definition.
• Arcusfunktionernas derivata.
• Hantera sammansättning mellan arcusfunktion och en trigonometrisk funktion.
• Logaritm- och exponentialfunktionernas definitions- och värdemängder.
• Att ln x och ex är varandras inverser, dvs. att x=eln x om x>0 och att x=ln(ex) för alla x.
• Derivatans definition.
• Deriveringsregler, t.ex. kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln. Du ska kunna bevisa vissa regler.
• Derivator av enkla funktioner, t.ex. polynom, trigonometriska funktioner, logaritmer och exponentialfunktioner. Du ska också kunna härleda (bevisa) derivatorna.
• Max-min-satsen.
• Satsen om mellanliggande värden.
• Hur man med derivata avgör om en funktion växer eller avtar på ett intervall.
• Derivatans definition och innebörd.
• Andraderivatans innebörd och sambandet med begrepp konvex/konkav funktion.
• Göra teckenstudier för derivatan.
• Att max och min antas antingen i punkter x där f'(x)=0, i randpunkter, eller punkter där f inte är deriverbar.
• Hitta maximum och minimum/absoluta maximum och minimum.
• Skissa grafen till en funktion.
• Beräkna linjära approximation till en funktion, uppskatta motsvarande felterm och intervaller där funktionsvärdet ligger.
• Approximera en funktion med Taylorpolynom av andra eller tredje grad och uppskatta motsvarande felterm på Lagrange form.
• Egenskaper hos O(x) symbolen.
• Tillämpning av Taylors polynom och O(x) symbolen för beräkning av gränsvärden.
• Skriva och tolka ett ekvationssystem på matrisform.
• Redogöra för elementära radoperationerna.
• Förstå begreppen pivotelement, trappstegsform och reducerad trappstegsform.
• Förstå innebörden av fria variabler.
• Lösa små linjära ekvationssystem för hand med Gausselimination och generellt med MATLAB, samt bestämma antalet lösningar till system.
• Förstå sambandet mellan geometriska vektorer och trippler av tal.
• Skilja på och förstå sambandet mellan en punkt i rummet/planet och tillhörande lägesvektor.
• Definitionen av vektoraddition.
• Förstå korrespondensen mellan geometriska egenskaper hos plan/linjer och motsvarande ekvationssystem.
• Förstå innebörden av och kunna beräkna skalär- och vektorprodukter.
• Använda ortogonal projektion av en vektor längs en annan vektor.
• Skriva enkla program och funktioner i Matlab, kunna använda slingor, logiska uttryck, underprogram, funktionshandtag, grafik, formaterat textutskift.
• Tillämpa approximativa metoder med iterationer och Newtons metod för att lösa ickelinjära ekvationer och programmera motsvarande algorithmer i Matlab.
• Lösa ekvationssystem och hantera matriser i Matlab.