Serier och derivator i flera variabler

Lärandemål

• Definiera talserier och talföljder, och avgöra huruvida de konvergerar eller inte.
• Definiera begreppet potensserie, och definierade tillhörande begreppen likformigt konvergent och absolut konvergent. Studenten skall också kunna tillämpa enklare konvergenskriterier för att bestämma olika typer av konvergens, och känna igen varianter på enklare potensserier.
• Definiera funktionsrum och normen av funktioner på ett intervall.
• Definiera och använda begreppen vektorvärda funktioner och funktioner i flera variabler och därmed sammanhängande begrepp.
• Beskriva mängder i Rn med de topologiska begreppen omgivning, inre/yttre punkt, randpunkt, öppen/sluten mängd samt komplementet till en mängd.
• Definiera begreppet kontinuitet för funktioner av flera variabler, samt använda tillhörande räkneregler för att i enklare fall bestämma sådana gränsvärden eller avgöra om en sådan funktion är kontinuerlig.
• Känna till och tillämpa kedjeregeln för sammansättningar av funktioner i flera variabler.
• Definiera och hantera begreppen partiell derivata, deriverbar funktion, gradient, riktningsderivata, Jacobi-matrisen och Hessianen till en vektorvärd funktion i flera variabler.
• Linjärisera en vektorvärd funktion av flera variabler, samt använda Jacobimatrisen för en sådan funktion och använda det för approximationer.
• Bestämma Taylorpolynom till reellvärda funktioner av en och flera variabler och använda dessa för approximationer.
• Med hjälp av Hessianen kunna klassificera kritiska punkter: lokalt minimum/maximum eller sadelpunkt.
• Använda derivatan för att lösa ekvationer numeriskt, speciellt då Newtons metod (datorövning).
• Lösa tillämpade max-min-problem med stöd av derivata (datorövning).
• Identifiera partiella differentialekvationer variabler av standard-typ: paraboliska, hyperboliska och elliptiska PDE.
• Identifiera Poissons ekvation, värmeledningsekvation och vågekvation i en eller flera variabler, med rand- och start-villkor.
• Definiera och beräkna Fourier-utvecklingar till funktioner i intervall.
• Avgöra när Fourier-serier konvergerar, och när Fourier-utvecklingar av funktioner konvergerar mot funktionerna.
• Definiera och räkna ut fundamentallösningar eller egenfunktioner till enkla typer av separabla partiella differentialekvationer (differentialoperatorer), med hjälp av variabelseparation, och skall kunna definiera egenvärdet hos en egenfunktion.
• Förklara vad det innebär att funktioner är ortogonala, och förstå vad det innebär att funktioner kan skrivas som summor egenfunktioner.
• Med hjälp av Fourier-serier kunna hitta lösningar till enklare typer av startvillkor hos PDE:er.