Inledande matematisk analys

Lärandemål

Efter fullgjord kurs ska studenten kunna

• definiera och använda begreppet funktion och därmed sammanhängande begrepp.
• definiera och identifiera olika egenskaper som hör ihop med funktioner, såsom växande, avtagande, injektiv, maximum, minimum (globala och lokala).
• definiera inverterbarhet och invers, samt invertera en funktion.
• arbeta med de grundläggande elementära funktionerna och vara bekant med deras egenskaper och tillhörande räknelagar.
• förstå och använda begreppet gränsvärde av en funktion då variabeln går mot ett ändligt tal och då variabeln går mot plus eller minus oändligheten samt motsvarande för oegentliga gränsvärden.
• härleda de viktigaste ¿standardgränsvärdena" och utnyttja räknelagar och standardgränsvärden¿ för att beräkna nya gränsvärden.
• definiera begreppet kontinuitet, att tillämpa satsen om mellanliggande värde och satsen om existens av största och minsta värde för funktioner som är kontinuerliga på slutna, begränsade intervall.
• definiera begreppen deriverbar funktion och derivata och ge tolkningar av betydelsen av derivatan, bland annat för att beskriva tillväxthastigheter.
• tillämpa deriveringsregler, både generella regler och regler för de elementära funktionerna.
• bestämma tangent och normal till en funktionsgraf.
• använda derivata för att göra linjära approximationer.
• med utgångspunkt i medelvärdessatsen analysera derivatans betydelse för funktioners växande och avtagande, samt att dra slutsatser av derivatans teckenväxlingar.
• använda derivatan för att lösa ekvationer numeriskt, speciellt då Newtons metod.
• använda och tolka högre ordningens derivator, speciellt andraderivator och deras betydelse för konvexitet/konkavitet.
• genomföra grafritning med stöd av derivata och andraderivata, och därvid också bestämma eventuella asymptoter.
• lösa tillämpade max-min-problem med stöd av derivata.
• uppfatta begreppet integral via area och approximerande summor.
• uppfatta integralen som ett gränsvärde av Riemannsummor, att använda detta för att härleda integralformler såsom skivformeln.
• medelvärdessatsen för integraler och integralkalkylens huvudsats.
• teknik (t ex partiell integration, variabelbyte och partialbråksuppdelning) för att beräkna primitiva funktioner till vissa elementära funktioner och att använda dessa för beräkning av integraler med insättningsformeln.
• använda numeriska metoder för att beräkna integraler.
• grunderna i numerisk programvara som ingenjörsverktyg, och att tillämpa denna programvara på något ur kursens innehåll.